Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/495

477

NOTES.

IV.

D’après la manière dont la fonction $\mathrm {S}$ s’est introduite au paragraphe précédent, il semble que, pour la connaître, il soit nécessaire d’avoir préalablement résolu le problème dont on s’occupe. Mais nous allons montrer que cette fonction satisfait à une équation différentielle partielle du premier ordre, dont toute intégrale complète peut la remplacer dans la formation des équations intégrales du problème de Mécanique.

Nous avons posé

(1)

$\mathrm {S} =\int _{0}^{t}(\mathrm {H+2T} )dt\,;$

en se reportant au paragraphe II, on a

$\mathrm {H=U-T} \,;$

donc

$\mathrm {S} =\int _{0}^{t}(\mathrm {U+T} )dt.$

Différentions les deux membres par rapport à $t,$ et remarquons que $\mathrm {S}$ contient $t,$ explicitement, et aussi à cause de $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},$ qui en dépendent ; nous aurons

(2)

$\mathrm {U+T} ={\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}}{\frac {dq_{1}}{dt}}+{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}}{\frac {dq_{2}}{dt}}+\ldots +{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}{\frac {dq_{k}}{dt}}.$

Or ${\frac {dq_{1}}{dt}},\,{\frac {dq_{2}}{dt}},\,\ldots ,\,{\frac {dq_{k}}{dt}}$ sont des fonctions linéaires de $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ c’est-à-dire (§ III) de ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}},$ de sorte que, par la substitution de ces valeurs, l’équation (2) deviendra une équation différentielle partielle du second degré par rapport aux dérivées de $\mathrm {S} .$ Pour former cette équation, il faudrait transformer, comme nous l’avons indiqué, la somme

${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}}q'_{1}+{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}}q'_{2}+\ldots +{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}q'_{k},$

qui figure dans le second membre ; or le résultat de ce calcul sera évidemment le même si l’on substitue à cette somme l’expression

$p_{1}q'_{1}+p_{2}q'_{2}+\ldots +p_{k}q'_{k},$