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NOTES.

traires ; désignons-la par $\mathrm {S} ,$ l’équation précédente deviendra

(6)

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial \alpha }}=&\quad \,\left(p_{1}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+p_{2}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +p_{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }}\right)_{t}\\&-\left(p_{1}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+p_{2}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +p_{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }}\right)_{0}\,;\end{aligned}}$

si nous la multiplions par $d\alpha ,$ pour l’ajouter ensuite à toutes les équations analogues que l’on obtiendrait en remplaçant la constante $\alpha ,$ successivement, par toutes celles qui figurent dans les intégrales du problème, on aura

(7)

$\left\{{\begin{aligned}\delta \mathrm {S} =&p_{1}\delta q_{1}+p_{2}\delta q_{2}+\ldots +p_{k}\delta q_{k}\\&-(p_{1})_{0}(\delta q_{1})_{0}-(p_{2})_{0}(\delta q_{2})_{0}-\ldots -(p_{k})_{0}(\delta q_{k})_{0},\end{aligned}}\right.$

en désignant par le signe $\delta$ la variation totale d’une fonction des diverses constantes, lorsque celles-ci varient toutes à la fois.

Remarquons, actuellement, que $\mathrm {S} ,$ étant une fonction de $t$ et des $2k$ constantes arbitraires, peut s’exprimer en fonction de $t$ et de $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},$ $(q_{1})_{0},\,(q_{2})_{0},\,\ldots ,\,(q_{k})_{0}.$ On a admis, en effet, que $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k}$ sont des fonctions de $t$ et de $2k$ constantes ; si, dans les $k$ équations qui les déterminent, on fait $t=0,$ on obtiendra $k$ équations nouvelles, dans lesquelles $(q_{1})_{0},\,(q_{2})_{0},$ $\ldots ,\,(q_{k})_{0}$ remplaceront $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},$ et qui, jointes aux précédentes, permettent d’exprimer les $2k$ constantes en fonction de $t$ et de $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},$ $(q_{1})_{0},\,(q_{2})_{0},\,\ldots ,\,(q_{k})_{0}.$ Si nous supposons que le calcul indiqué soit effectué, l’équation (7) fournira la variation de $\mathrm {S} ,$ lorsque toutes les variables dont cette fonction dépend, à l’exception de $t$ seulement, reçoivent des accroissements infiniment petits. On en conclut, d’après les principes du Calcul différentiel,

(8)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}}=p_{1},\qquad {\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}}=p_{2},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}=p_{k},\\&{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial (q_{1})_{0}}}=-(p_{1})_{0},\quad {\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial (q_{2})_{0}}}=-(p_{2})_{0},\quad \ldots ,\quad {\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial (q_{k})_{0}}}=-(p_{k})_{0},\end{aligned}}\right.$

et ces équations ayant lieu entre $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},\,q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},$ le temps $t$ et les $2k$ constantes $(p_{1})_{0},\,(p_{2})_{0},\,\ldots ,\,(p_{k})_{0},\,(q_{1})_{0},\,(q_{2})_{0},\,\ldots ,\,(q_{k})_{0},$ elles sont, évidemment, les intégrales complètes du problème. On peut remarquer que les équations qui composent la deuxième ligne du groupe (8) forment un système à part, dans lequel ne figurent pas $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ et permettent, par conséquent, de calculer les inconnues $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k}$ en fonction du temps et de toutes les valeurs initiales $(q_{1})_{0},\,(q_{2})_{0},\,\ldots ,\,(q_{k})_{0},$ $(p_{1})_{0},\,(p_{2})_{0},\,\ldots ,\,(p_{k})_{0}.$