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NOTES.

tons ces valeurs dans la fonction $\mathrm {H} ,$ nous aurons, en différentiant le résultat par rapport à l’une des constantes $\alpha ,$

${\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \alpha }}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial p_{1}}{\partial \alpha }}+\ldots +{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{k}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{1}}}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{2}}}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{k}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }},$

c’est-à-dire, en ayant-égard aux équations (1), qui sont, par hypothèse, satisfaites,

(2)

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \alpha }}=&-{\frac {dq_{1}}{dt}}{\frac {\partial p_{1}}{\partial \alpha }}-{\frac {dq_{2}}{dt}}{\frac {\partial p_{2}}{\partial \alpha }}-\ldots -{\frac {dq_{k}}{dt}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial \alpha }}\\&+{\frac {dp_{1}}{dt}}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+{\frac {dp_{2}}{dt}}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +{\frac {dp_{k}}{dt}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }},\end{aligned}}$

ce que l’on peut écrire de la manière suivante :

(3)

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \alpha }}=&\quad \ \ {\frac {d}{dt}}\left(p_{1}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+p_{2}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +p_{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }}\right)\\&-{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left(p_{1}{\frac {dq_{1}}{dt}}+p_{2}{\frac {dq_{2}}{dt}}+\ldots +p_{k}{\frac {dq_{k}}{dt}}\right).\end{aligned}}$

Mais, la fonction $\mathrm {T}$ étant homogène, de degré $2,$ par rapport à $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k},$ on a

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}q'_{1}+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}q'_{2}+\ldots +{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}}q'_{k}=2\mathrm {T} .$

Or cette expression ne diffère pas de celle dont la dérivée, par rapport à $\alpha ,$ figure dans le second membre de l’équation (3), en sorte que cette équation devient

${\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \alpha }}={\frac {d}{dt}}\left(p_{1}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+p_{2}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +p_{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }}\right)-2{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \alpha }},$

ou encore

(4)

${\frac {\mathrm {\partial (H+2T)} }{\partial \alpha }}={\frac {d}{dt}}\left(p_{1}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+p_{2}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +p_{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }}\right),$

ou, en intégrant les deux membres par rapport à $t,$

(5)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\int _{0}^{t}(\mathrm {H+2T} )dt=&+\left(p_{1}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+p_{2}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +p_{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }}\right)_{t}\\&-\left(p_{1}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+p_{2}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +p_{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }}\right)_{0},\end{aligned}}\right.$

les indices $0$ et $t$ placés au-dessous des parenthèses indiquant qu’il faut y supposer le temps égal à zéro ou à $t.$

L’intégrale $\int _{0}^{t}(\mathrm {H+2T} )dt$ est une fonction de $t$ et des $2k$ constantes arbi-