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NOTES.

tions deviennent

(C)

${\frac {dp_{1}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{1}}},\qquad {\frac {dp_{2}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{2}}},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {dp_{k}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{k}}}\,;$

si l’on remarque, en outre, que, $\mathrm {U}$ ne contenant pas $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ on a ${\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{i}}}=-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{i}}},$ les équations (B) pourront s’écrire

(D)

${\frac {dq_{1}}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{1}}},\qquad {\frac {dq_{2}}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{2}}},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {dq_{k}}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{k}}}.$

Les systèmes $(\mathrm {C} )$ et $(\mathrm {D} )$ donnent, sous la forme la plus simple, les équations d’un problème de Mécanique auquel s’applique le principe des forces vives. On voit que deux problèmes de ce genre ne diffèrent l’un de l’autre que par le nombre des variables et la forme de la fonction $\mathrm {H} .$

III.

Quoique l’on soit loin de savoir intégrer, en général, les équations (C) et (D) du paragraphe précédent, leur forme permet, néanmoins, d’établir plusieurs théorèmes fort importants, qui s’appliquent à toutes les questions représentées par ces équations.

Nous commencerons par établir le théorème suivant, qui est dû à Hamilton :

Théorème. — Les intégrales d’un problème de Mécanique auquel s’applique le principe des forces vives peuvent toutes s’exprimer en égalant à des constantes les dérivées partielles d’une même fonction prises par rapport à d’autres constantes.

Reprenons les équations différentielles d’un problème de Mécanique auquel s’applique le principe des forces vives :

(1)

$\left\{{\begin{alignedat}{4}{\frac {dp_{1}}{dt}}=&+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{1}}},\qquad &{\frac {dp_{2}}{dt}}=&+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{2}}},\qquad &&\ldots ,\qquad &{\frac {dp_{k}}{dt}}=&+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{k}}},\\{\frac {dq_{1}}{dt}}=&-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{1}}},\qquad &{\frac {dq_{2}}{dt}}=&-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{2}}},\qquad &&\ldots ,\qquad &{\frac {dq_{k}}{dt}}=&-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{k}}},\\\end{alignedat}}\right.$

Supposons que, ces équations ayant été intégrées, $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ $q_{1},\,q_{2},$ $\ldots ,\,q_{k}$ soient connus en fonction de $t$ et de $2k$ constantes arbitraires. Si nous remet-