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NOTES.

à la fois ; il vient

(4)

$\delta \mathrm {T} =q'_{1}\delta p_{1}+q'_{2}\delta p_{2}+\ldots +q'_{k}\delta p_{k}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}}\delta q_{1}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{2}}}\delta q_{2}-\ldots -{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{k}}}\delta q_{k}.$

(Nous supprimons, dans le second membre, les termes $p_{m}\delta q'_{m}$ et $-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{m}}}\delta q'_{m}$ qui se détruisent.)

Or, en considérant $\mathrm {T}$ comme fonction de $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},\,q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},$ on conclut évidemment de l’équation (4)

${\begin{alignedat}{5}&(5)&{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}=&q'_{1},&{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}=&q'_{2},&&\ldots ,&{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}=&q'_{k},\\&(6)\qquad &{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}}=&-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}},\qquad &{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{2}}}=&-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{2}}},\qquad &&\ldots ,\qquad &{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{k}}}=&-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{k}}}.\end{alignedat}}$

Les équations (6) donnent aux équations du mouvement la forme

(A)

${\frac {dp_{1}}{dt}}=\mathrm {Q} _{1}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}},\quad {\frac {dp_{2}}{dt}}=\mathrm {Q} _{2}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {dp_{k}}{dt}}=\mathrm {Q} _{k}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{k}}}\,;$

et, si on leur adjoint les relations (5),

(B)

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}={\frac {dq_{1}}{dt}},\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}={\frac {dq_{2}}{dt}},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}={\frac {dq_{k}}{dt}},$

on aura $2k$ équations différentielles du premier ordre entre les inconnues $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},\,q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k}.$ Pour simplifier ces équations, rappelons-nous que $\mathrm {X} _{i},\,\mathrm {Y} _{i},\,\mathrm {Z} _{i},$ composantes de la force qui sollicite le point $x_{i},y_{i},z_{i},$ sont, par hypothèse, les dérivées partielles d’une même fonction $\mathrm {U} ,$ et que l’on a

$\mathrm {X} _{i}={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x_{i}}},\qquad \mathrm {Y} _{i}={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y_{i}}},\qquad \mathrm {Z} _{i}={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z_{i}}}\,;$

donc, en se reportant à la définition de la fonction $\mathrm {Q} _{m},$

$\mathrm {Q} _{m}=\sum \mathrm {X} _{i}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{m}}}+\mathrm {Y} _{i}{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{m}}}+\mathrm {Z} _{i}{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{m}}},$

on en conclut

$\mathrm {Q} _{m}={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial q_{m}}}.$

Si l’on remet dans les équations (A), à la place de $\mathrm {Q} _{1},\,\mathrm {Q} _{2},\,\ldots ,\,\mathrm {Q} _{k},$ les valeurs fournies par cette formule, et que l’on pose, de plus, $\mathrm {U-T=H} ,$ ces équa-