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NOTES.

ces équations sont du second ordre, mais on peut les ramener au premier ordre en considérant $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k},$ comme $k$ inconnues nouvelles définies par les équations

(2)

${\frac {dq_{1}}{dt}}=q'_{1},\qquad {\frac {dq_{2}}{dt}}=q'_{2},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {dq_{k}}{dt}}=q'_{k},$

et nous aurons, de cette manière, un système de $2k$ équations du premier ordre.

Poisson a eu l’idée de transformer le système des équations (1) et (2) en substituant aux inconnues $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k},$ les inconnues nouvelles ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}},$ ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}},$ qui en sont des fonctions linéaires ; mais il n’a pas développé son calcul de transformation, et M. Hamilton a donné, le premier, les équations très simples auxquelles ces variables nouvelles vont nous conduire.

Posons

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}=p_{1},\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}=p_{2},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}}=p_{k},$

les équations (1) deviendront

${\frac {dp_{1}}{dt}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}=\mathrm {Q} _{1},\quad {\frac {dp_{2}}{dt}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}=\mathrm {Q} _{2},\quad \ldots \quad {\frac {dp_{k}}{dt}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}}=\mathrm {Q} _{k}\,;$

mais la substitution des variables $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k}$ à $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k}$ exige que les seconds termes de ces équations soient transformés. Il est clair, en effet, que $\mathrm {T}$ étant exprimé en fonction de $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},\,q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k}$ puis en fonction de $q,\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},\,p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ n’aura pas, sous les deux formes, la même dérivée par rapport à $q_{m}.$

$\mathrm {T}$ étant une fonction homogène de degré $2$ des variables $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k},$ on a, identiquement,

$2\mathrm {T} =q'_{1}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}+q'_{2}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}+\ldots +q'_{k}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}},$

ce que l’on peut écrire

(3)

$\mathrm {T} =q'_{1}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}+q'_{2}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}+\ldots +q'_{k}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}}-\mathrm {T} =q'_{1}p_{1}+q'_{2}p_{2}+\ldots +q'_{k}p_{k}-\mathrm {T} .$

Prenons la variation des deux membres en faisant varier toutes les variables