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NOTES.

l’indice $m$ chacune des valeurs $1,\,2,\,\ldots ,\,k,$ et l’on formera ainsi les $k$ équations différentielles suivantes :

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}}=\mathrm {Q} _{1},\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{2}}}=\mathrm {Q} _{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{k}}}=\mathrm {Q} _{k},\end{aligned}}$

qui sont précisémentles équations de Lagrange. Dans ces équations, les inconnues sont $q_{1},\,q_{2},\,,\ldots ,\,q_{k},$ et leurs dérivées $q'_{1},\,q'_{2},\,,\ldots ,\,q'_{k}\,;$ $\mathrm {Q_{1},\,Q_{2},}$ $\ldots ,\,\mathrm {Q} _{k},$ sont des fonctions données de ces inconnues ; il en est de même de $\mathrm {T} ,$ car $x_{i},\,y_{i},\,z_{i},$ étant donnés, par hypothèse, on peut former, par la différentiation, $x'_{i},\,y'_{i},\,z'_{i}.$ Il est importantde remarquer que, d’après les règles de la différentiation, $x'_{i},\,y'_{i},\,z'_{i}$ seront des fonctions linéaires de $q'_{1},\,q'_{2},$ $\ldots ,\,q'_{k},$ et que, par suite, $\mathrm {T}$ sera une fonction algébrique entière et de degré $2$ de ces diverses dérivées. Si les expressions de $x_{i},\,y_{i},\,z_{i}$ ne contiennentpas explicitement la lettre $t,$ et cela aura lieu toutes les fois que les liaisons seront indépendantes du temps, on voit facilement que $x'_{i},\,y'_{i},\,z'_{i}$ seront des fonctions homogènes du premier degré, et, par suite, $\mathrm {T}$ une fonction homogène de degré $2$ par rapport aux variables $q'_{1},\,q'_{2},\,,\ldots ,\,q'_{k}.$ Cette remarque a une grande importance.

II.

Nous supposerons, dans les considérations qui vont suivre, un système dont les liaisons sont indépendantes du temps, sollicité par des forces ayant pour composantes les dérivées partielles d’une même fonction. Nous admettrons, en un mot, que le principe des forces vives soit applicable au problème dont nous nous occupons.

Reprenons les équations différentielles du mouvement

(1)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}}=\mathrm {Q} _{1},\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{2}}}=\mathrm {Q} _{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{k}}}=\mathrm {Q} _{k}\,;\end{aligned}}\right.$