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NOTES.

Les équations du mouvement ont, comme on sait, pour type général

(1)

$\left\{{\begin{aligned}m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}=&\mathrm {X} _{i}+\lambda _{1}{\frac {\partial \Pi _{1}}{\partial x_{i}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial \Pi _{2}}{\partial x_{i}}}+\ldots +\lambda _{3n-k}{\frac {\partial \Pi _{3n-k}}{\partial x_{i}}},\\m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}=&\mathrm {Y} _{i}+\lambda _{1}{\frac {\partial \Pi _{1}}{\partial y_{i}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial \Pi _{2}}{\partial y_{i}}}+\ldots +\lambda _{3n-k}{\frac {\partial \Pi _{3n-k}}{\partial y_{i}}},\\m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}=&\mathrm {Z} _{i}\,+\lambda _{1}{\frac {\partial \Pi _{1}}{\partial z_{i}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial \Pi _{2}}{\partial z_{i}}}+\ldots +\lambda _{3n-k}{\frac {\partial \Pi _{3n-k}}{\partial z_{i}}},\end{aligned}}\right.$

la lettre $i$ désignant un nombre entier quelconque au plus égal à $n,$ $m_{i}$ la masse du point dont les coordonnées sont $x_{i},\,y_{i},\,z_{i},$ et $\mathrm {X} _{i},\,\mathrm {Y} _{i},\,\mathrm {Z} _{i}$ les composantes de la force qui sollicite ce point.

Multiplions les équations (1), respectivement, par ${\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{m}}},\,{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{m}}},\,{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{m}}},$ et ajoutons-les à toutes les équations analogues que l’on obtiendrait en attribuant à $i$ les $n$ valeurs dont il est susceptible ; il viendra

(2)

$\left\{{\begin{aligned}&\sum m_{i}\left({\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{m}}}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}+{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{m}}}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}+{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{m}}}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\\=&\sum \left(\mathrm {X} _{1}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{m}}}+\mathrm {Y} _{1}{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{m}}}+\mathrm {Z} _{1}{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{m}}}\right)\,;\end{aligned}}\right.$

les facteurs $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{3n-k}$ disparaissent dans l’addition à cause de la relation

(3)

$\sum \left({\frac {\partial \Pi _{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial q_{m}}}+{\frac {\partial \Pi _{\alpha }}{\partial y_{\beta }}}{\frac {\partial y_{\beta }}{\partial q_{m}}}+{\frac {\partial \Pi _{\alpha }}{\partial z_{\beta }}}{\frac {\partial z_{\beta }}{\partial q_{m}}}\right)=0,$

qui résulte de ce que la fonction $\Pi _{\alpha }$ ($\alpha$ désignant un indice quelconque au plus égal à $3n-k$) s’annule identiquement lorsque $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},$ $y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},$ $z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n},$ sont remplacés par leurs valeurs en $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},$ et $t.$

Le second membre de l’équation (2) doit être regardé comme une fonction connue des variables $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k}$ et $t\,;$ car $\mathrm {X} _{i},\,\mathrm {Y} _{i},\,\mathrm {Z} _{i},\,x_{i},\,y_{i},\,z_{i}$ sont donnés par l’énoncé du problème en fonction de ces $k+1$ variables. Il n’y a donc pas lieu de transformer ce second membre, et nous le désignerons par une lettre $\mathrm {Q} _{m}.$

Pour transformer le premier membre, écrivons-le de la manière suivante

(4)

$m_{i}\sum \left({\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{m}}}{\frac {dx'_{i}}{dt}}+{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{m}}}{\frac {dy'_{i}}{dt}}+{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{m}}}{\frac {dz'_{i}}{dt}}\right),$

en désignant par $x'_{i},\,y'_{i},\,z'_{i}$ les composantes de la vitesse du point dont les