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NOTES.

or elle peut s’écrire

$\sum \sum m_{i}m_{i'}(x_{i}y_{i'}-x_{i'}y_{i})^{2}>0,$

et, sous cette forme, elle devient complètement évidente. Le seul cas d’exception serait celui où tous les éléments de la somme seraient nuls. Cette condition ne pourrait être remplie pour les trois inégalités (4) la fois que si tous les points du système se trouvaient sur une même ligne droite passant par l’origine.

(Note de M. J. Bertrand.)

NOTE VI.

Sur les équations différentielles des problèmes de Mécanique, et la forme que l’on peut donner à leurs intégrales.

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Dans la Section IV de la seconde Partie, Lagrange fait connaître la forme très remarquable que prennent les équations de la Dynamique, lorsque l’on substitue aux coordonnées des divers points un système quelconque de variables. Nous allons revenir, dans cette Note, sur la formation de ces équations. Nous indiquerons ensuite une transformation très heureuse que leur a fait subir M. Hamilton, et dont on peut déduire plusieurs propriétés de leurs intégrales qui conviennent à tous les problèmes auxquels s’applique la transformation de M. Hamilton.

I.

Soient $x_{1},\,y_{1},\,z_{1},\,x_{2},\,y_{2},\,z_{2},,\ldots ,\,x_{n},\,y_{n},\,z_{n}$ les $3n$ coordonnées des points d’un système ; $\Pi _{1}=0,\,\Pi _{2}=0,\ldots ,\,\Pi _{3n-k}=0,$ $3n-k$ équations de liaisons qui définissent le système. Dans ces équations, les $3n$ coordonnées peuvent figurer d’une manière quelconque avec le temps $t\,;$ désignons par $q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k},$ $k$ variables nouvelles, telles que l’on puisse exprimer les $3n$ coordonnées $x_{1},\,y_{1},\,z_{1},\,\ldots ,\,x_{n},\,y_{n},\,z_{n}$ en fonction de ces variables et du temps $t,$ les formules qui expriment les coordonnées étant telles, bien entendu, que les équations $\Pi _{1}=0,\,\Pi _{2}=0,\ldots ,\,\Pi _{3n-k}=0$ deviennent identiques lorsqu’on y substitue aux diverses coordonnées leur expression en fonction des variables nouvelles.