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NOTES.

il faut prouver que l’égalité

(2)

$(a+b)(a+c)(b+c)=d^{2}(a+b)+e^{2}(a+c)+f^{2}(b+c)+2def$

ne peut avoir lieu dans aucun cas. Pour le faire voir, nous allons montrer que, en faisant passer tous les termes dans le premier membre, le résultat est essentiellement positif.

Or on obtient ainsi, pour premier membre,

${\begin{aligned}2abc&+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2}+ca^{2}+ba^{2}+ab^{2}\\-&(b+c)f^{2}-(a+c)e^{2}-(a+b)d^{2}-2def,\end{aligned}}$

ce que l’on peut écrire de la manière suivante :

(3)

$\left\{{\begin{aligned}2&(abc-def)+\left(ab-d^{2}\right)(a+b)\\&+\left(ac-e^{2}\right)(a+c)+\left(bc-f^{2}\right)(b+c).\end{aligned}}\right.$

Or on a

$\scriptstyle {\begin{aligned}ab-d^{2}=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle x^{2}\mathrm {Dm} \times \displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle y^{2}\mathrm {Dm} -(\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xy\mathrm {Dm} )^{2},\\ac-e^{2}=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle x^{2}\mathrm {Dm} \times \displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle z^{2}\mathrm {Dm} -(\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xz\mathrm {Dm} )^{2},\\bc-f^{2}=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle y^{2}\mathrm {Dm} \times \displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle z^{2}\mathrm {Dm} -(\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle yz\mathrm {Dm} )^{2},\end{aligned}}$

et il est très facile de voir que ces trois différences sont positives ; de plus, des inégalités

(4)

$\left\{{\begin{aligned}ab>d^{2},\\ac>e^{2},\\bc>f^{2},\end{aligned}}\right.$

on déduira

$a^{2}b^{2}c^{2}>d^{2}e^{2}f^{2},$

et, par suite,

$abc>def\,;$

et l’on voit alors que tous les termes de l’expression (3) sont essentiellement positifs, et que, par conséquent, cette expression ne peut jamais s’annuler.

Nous avons admis les inégalités (4) comme évidentes. Si l’on suppose, en effet, que le nombre des points du système ait une valeur finie quelconque $n,$ la première de ces inégalités, qui ne diffère des deux autres que par des changements de lettres, devient

${\begin{aligned}&\left(m_{1}x_{1}^{2}+m_{2}x_{2}^{2}+\ldots +m_{n}x_{n}^{2}\right)\left(m_{1}y_{1}^{2}+m_{2}y_{2}^{2}+\ldots +m_{n}y_{n}^{2}\right)\\&\quad >\left(m_{1}x_{1}y_{1}+\ldots +m_{n}x_{n}y_{n}\right)^{2}\end{aligned}}$