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NOTES.

positif lorsque $\lambda '$ est nul, et négatif si $\lambda '$ est très grand ; il s’annule donc, nécessairement, pour une certaine valeur positive de $\lambda '.$

On peut consulter, pour plus de détails, la Note insérée par M. Liouville dans le tome XIV du Journal de l’École Polytechnique (XXIII^e Cahier). Nous indiquerons aussi un article inséré par M. Liouville au tome IV de son Journal, et qui contient quelques remarques intéressantes relatives à l’équation (6). Cet article est intitulé : Observations sur un Mémoire de M. Yvory. La question a enfin été traitée par un géomètre allemand, M. Meyer, de Kœnigsberg. M. Meyer s’est demandé^[1] si, pour une vitesse de rotation donnée, plusieurs formes ellipsoïdales à trois axes inégaux peuvent assurer l’équilibre, et il parvient à démontrer qu’il n’en peut exister qu’une seule. M. Meyer démontre en même temps qu’à une vitesse de rotation donnée correspondent, en général, deux formes ellipsoïdales de révolution ; c’est ce que l’on peut voir, du reste, dans la Mécanique céleste de Laplace, tome II, page 56.

(Note de M. J. Bertrand.)

NOTE V.

Sur une équation signalée par Lagrange comme impossible.

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Lagrange a été conduit, page 293, à regarder comme impossible l’équation

(1)

$\scriptstyle \left\{{\begin{aligned}&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \left(x^{2}+y^{2}\right)\mathrm {Dm} \times \displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \left(x^{2}+z^{2}\right)\mathrm {Dm} \times \displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \left(y^{2}+z^{2}\right)\mathrm {Dm} \\=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \left(x^{2}+y^{2}\right)\mathrm {Dm} \times \left(\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xy\mathrm {Dm} \right)^{2}+\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \left(x^{2}+z^{2}\right)\mathrm {Dm} \times \left(\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xz\mathrm {Dm} \right)^{2}\\+&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \left(y^{2}+z^{2}\right)\mathrm {Dm} \times \left(\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle yz\mathrm {Dm} \right)^{2}+2\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xy\mathrm {Dm} \times \displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xz\mathrm {Dm} +\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle yz\mathrm {Dm} \,;\end{aligned}}\right.$

mais il ne s’est pas arrêté à démontrer cette impossibilité, qu’un premier aperçu lui faisait regarder comme difficile à établir. Le but de cette Note est de remplir cette lacune qui, du reste, a été déjà l’objet d’un travail de M. Binet. Posons

${\begin{alignedat}{3}\scriptstyle a=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle x^{2}\mathrm {Dm} ,&\qquad \scriptstyle b=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle y^{2}\mathrm {Dm} ,&\qquad \scriptstyle c=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle z^{2}\mathrm {Dm} ,\\\scriptstyle d=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xy\mathrm {Dm} ,&\scriptstyle e=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xz\mathrm {Dm} ,&\scriptstyle f=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle yz\mathrm {Dm} \,;\end{alignedat}}$

1. Journal de Crelle, t. 24.