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NOTES.

Traités de Mécanique. On a^[1]

${\begin{aligned}\mathrm {L} \ =&{\frac {3\mu }{k^{3}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}dx}{\mathrm {H} }},\\\mathrm {M} =&{\frac {3\mu }{k^{3}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}dx}{\left(1+\lambda ^{2}x^{2}\right)\mathrm {H} }},\\\mathrm {N} \,=&{\frac {3\mu }{k^{3}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}dx}{\left(1+\lambda '^{2}x^{2}\right)\mathrm {H} }}\,;\end{aligned}}$

dans ces formules, $\mu$ désigne la masse de l’ellipsoïde, et l’on a posé

$\mathrm {\frac {B^{2}-A^{2}}{A^{2}}} =\lambda ^{2},\qquad \mathrm {\frac {C^{2}-A^{2}}{A^{2}}} =\lambda '^{2},$

$\mathrm {H} ={\sqrt {\left(1+\lambda ^{2}x^{2}\right)\left(1+\lambda '^{2}x^{2}\right)}}.$

Cela posé, si l’on élimine $f$ entre les équations (1) et (2), on obtient la relation

(3)

$(\mathrm {M-N} )\left(1+\lambda ^{2}\right)\left(1+\lambda '^{2}\right)=\mathrm {L} \left(\lambda ^{2}-\lambda '^{2}\right),$

ou, d’après les expressions de $\mathrm {L,\,M}$ et $\mathrm {N}$ écrites plus haut,

(4)

$\left(\lambda ^{2}-\lambda '^{2}\right)\left[\left(1+\lambda ^{2}\right)\left(1+\lambda '^{2}\right)\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}dx}{\mathrm {H} ^{3}}}-\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}dx}{\mathrm {H} }}\right]=0,$

égalité à laquelle on peut satisfaire de deux manières :

1^o En posant $\lambda '=\lambda ,$ ce qui donne un ellipsoïde de révolution et s’accorde avec l’indication de Maclaurin rapportée par Lagrange ;

2^o En posant

(5)

$\left(1+\lambda ^{2}\right)\left(1+\lambda '^{2}\right)\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}dx}{\mathrm {H} ^{3}}}=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}dx}{\mathrm {H} }}\,;$

cette équation fournira $\lambda$ en fonction de $\lambda '$ et conduit à l’ellipsoïde à axes inégaux signalé par M. Jacobi.

On peut d’ailleurs démontrer que, pour chaque valeur de $\lambda ,$ l’équation (5) fournira une valeur correspondante de $\lambda '.$

Si, en effet, on la met sous la forme

(6)

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\left(1-x^{2}\right)\left(1-\lambda ^{2}\lambda '^{2}x^{2}\right)dx}{\mathrm {H} ^{3}}}=0,$

on voit que, en attribuant à $\lambda$ une valeur déterminée, le premier membre est

1. Mécanique céleste, t. II, p. II.