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NOTES.

on aura ensuite

${\begin{aligned}dz=&\int \cos \varphi ds,\\x\;=&r\cos \omega ,\\y\;=&r\sin \omega ,\\r^{2}=&{\frac {\theta }{g}}{\frac {ds}{d\omega }},\end{aligned}}$

de sorte que $x,\,y,\,z$ pourront, par des quadratures, s’exprimer en fonction de l’angle $\varphi .$

(Note de M. J. Bertrand.)

NOTE IV.

Sur la figure d’une masse fluide animée d’un mouvement de rotation.

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Reprenons les équations

(1)

$\mathrm {{\frac {mM-f}{mL}}={\frac {A^{2}}{B^{2}}}} ,$

(2)

$\mathrm {{\frac {mN-f}{mL}}={\frac {A^{2}}{C^{2}}}} ,$

qui ont été obtenues par Lagrange, à la page 219 ; on s’aperçoit, tout d’abord, que le raisonnement qu’il emploie n’établit pas avec rigueur l’égalité des axes $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} .$ $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ ne différant, en effet, que par le changement des lettres $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ l’une dans l’autre, on voit bien que l’hypothèse $\mathrm {B=C}$ réduit les deux équations à une seule, mais il n’est pas évident que cette hypothèse soit nécessaire pour que les équations puissent avoir lieu en même temps. Nous allons montrer, en effet, qu’il existe des formes ellipsoïdales à axes inégaux pour lesquelles l’équilibre est possible.

Les expressions que Lagrange désigne par $\mathrm {L,\,M,\,N}$ sont développées dans la Mécanique céleste de Laplace et se trouvent aujourd’hui dans la plupart des