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NOTES.

La dernière équation montre que, si l’on néglige \theta, comme Lagrange l’a fait, la courbe sera nécessairement plane. En multipliant ces équations par $dx,\,dy,\,dz,$ et les ajoutant, il vient

(2)

$0=\theta ds+g(ydx-xdy)$[1] ;

on trouve aussi, en ajoutant les deux premières, multipliées respectivement par $x$ et $y$,

(3)

${\frac {p}{ds^{3}}}d^{2}z(xdy-ydx)-{\frac {pdz\left(xd^{2}y-yd^{2}x\right)}{ds^{3}}}=\theta {\frac {xdx+ydy}{ds}},$

ou, en vertu de la précédente, si l’on prend $s$ pour variable indépendante,

(4)

${\frac {p}{g}}{\frac {d^{2}z}{ds^{2}}}={\frac {xdx+ydy}{ds}},$

et, en intégrant,

(5)

${\frac {2p}{g}}{\frac {dz}{ds}}=x^{2}+y^{2}-{\frac {c}{g}}.$

Si l’on substitue à $x$ et $y$ des coordonnées polaires, en posant

$x^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad {\frac {y}{x}}=\operatorname {tang} \omega ,$

les équations précédentes deviendront

$r^{2}d\omega ={\frac {\theta }{g}}ds,\qquad {\frac {dz}{ds}}={\frac {gr^{2}-c}{2p}}\,;$

d’où l’on déduira, en posant ${\frac {dz}{ds}}=\cos \varphi ,$ et se servant de la formule connue

$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\omega ^{2}+dz^{2},$

$ds={\frac {p\sin \varphi d\varphi }{\sqrt {g\sin ^{2}\varphi (2p\cos \varphi +c)-\theta ^{2}}}},$

$d\omega ={\frac {\theta p\sin \varphi d\varphi }{(2p\cos \varphi +c){\sqrt {g\sin ^{2}\varphi (2p\cos \varphi +c)-\theta ^{2}}}}}\,;$

1. On peut remarquer que si, dans cette formule (2), on pouvait supposer $x=0,$ $y=0,$ on en conclurait $\theta =0.$ Il faut donc, pour qu’il y ait torsion, que la force ne soit pas directement appliquée au point de la courbe sur lequel s’exerce son action. (J. Bertrand.)