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NOTES.

Nous considérerons en particulier le cas où, la courbe étant primitivement droite, la seule force appliquée agit sur son extrémité $\mathrm {A} ,$ l’extrémité $\mathrm {B}$ étant fixe. En supposant que l’on fixe un point $\mathrm {M}$ dont les coordonnées sont $x,\,y,\,z,$ les moments des forces données par rapport à ce point auront leurs composantes de la forme

${\begin{aligned}cy&-bz+a_{1},\\az&-cx+b_{1},\\bx&-ay+c_{1},\end{aligned}}$

$a,\,b,\,c,\,a_{1},\,b_{1},\,c_{1}$ étant des constantes qui dépendent de la direction de la force et de la position de son point d’application. En égalant ces moments aux couples d’élasticité décomposés perpendiculairement aux trois mêmes axes, nous aurons les équations

${\begin{aligned}p{\frac {dyd^{2}z-dzd^{2}y}{ds^{3}}}=&\theta {\frac {dx}{ds}}+cy-bz+a_{1},\\p{\frac {dzd^{2}x-dxd^{2}z}{ds^{3}}}=&\theta {\frac {dy}{ds}}+az-cx+b_{1},\\p{\frac {dxd^{2}y-dyd^{2}x}{ds^{3}}}=&\theta {\frac {dz}{ds}}+bx-ay+c_{1},\end{aligned}}$

qui ne diffèrent de celles de Lagrange (p. 168) que par la notation et par l’introduction des termes en $\theta .$

Après avoir obtenu ces équations, Lagrange ajoute : Leur intégration est peut-être impossible en général. Nous allons montrer qu’elle est, au contraire, toujours possible, et nous suivrons, pour cela, la marche indiquée par M. Binet^[1] et simplifiée, peu de temps après, par Wantzell.

Si l’on prend pour axe des $z$ la direction même de la force donnée, les formules précédentes deviennent, comme on le voit facilement, de la forme

(1)

$\left\{{\begin{aligned}p{\frac {dyd^{2}z-dzd^{2}y}{ds^{3}}}=&\theta {\frac {dx}{ds}}+gy,\\p{\frac {dzd^{2}x-dxd^{2}z}{ds^{3}}}=&\theta {\frac {dy}{ds}}-gx,\\p{\frac {dxd^{2}y-dyd^{2}x}{ds^{3}}}=&\theta {\frac {dz}{ds}},\end{aligned}}\right.$

$g$ étant une constante.

1. Voir les Comptes rendus de l’Académie des Sciences pour 1844, pages 1115 et 1197.