mêmes décompositions, en substituant au point un point infiniment voisin la force et le couple varieront, d’une part, à cause du changement dans le point d’application de la force, et, en outre, par l’influence de forces nouvelles agissant sur l’arc Remarquons d’abord que ces dernières forces ne peuvent exercer aucune influence sur la valeur du couple car leur point d’application est à une distance infiniment petite du second ordre de la tangente au point qui est l’axe de ce couple. Il suffit donc d’avoir égard au changement de position du point fixe, et ce changement a évidemment pour effet d’adjoindre au couple un seconde couple produit par la force et par une force égale et contraire appliquée en Or la force a, comme celles qui sont appliquées à l’arc son point d’application situé à une distance infiniment petite du second ordre de la tangente en en sorte qu’elle ne modifie que d’une quantité de cet ordre le couple cherché, dont cette tangente est l’axe. D’après ces remarques, on peut calculer la valeur du couple de torsion qui correspond au point comme si le couple ne changeait ni de grandeur ni de direction ; il faut seulement le décomposer maintenant en deux autres, dont l’un soit perpendiculaire à la tangente en Pour calculer ce couple composant, qui représente le moment de torsion cherché, substituons au couple les deux couples et qui lui sont équivalents. Chacun de ces couples devra être multiplié par le cosinus de l’angle formé par son axe avec celui du couple qui n’est autre que la tangente de la courbe considérée au point Les axes des couples et forment un angle infiniment petit dont le cosinus est égal à l’unité, si nous négligeons, comme plus haut, les infiniment petits du second ordre ; quant à l’axe du couple l’angle qu’il forme avec la tangente en est droit, si l’on néglige encore les infiniment petits du second ordre, car le plan osculateur en est parallèle à la tangente en le cosinus de cet angle peut donc être considéré comme nul, et l’on a, en négligeant les infiniment petits du second ordre,
d’où l’on conclut que le moment de torsion est rigoureusement constant tout le long de la courbe élastique.
D’après cette remarque, on formera les équations d’équilibre en écrivant que les forces appliquées à une portion quelconque de la courbe, supposée rigide, sont détruites par la fixité du point et par deux couples et ayant respectivement pour axes la tangente à la courbe et l’axe du plan osculateur ; étant constant, et proportionnel à la différence entre la courbure actuelle en et la courbure primitive au même point.
