NOTE III.
Sur l’équilibre d’une ligne élastique.
Les formules données par Lagrange (p. 162) supposent que la force d’élasticité s’exerce, en chaque point, dans le plan osculateur de la ligne en équilibre dont elle tend à rétablir le rayon de courbure primitif ; mais une pareille hypothèse est loin de représenter les phénomènes, et M. Binet a remarqué qu’à la force d’élasticité considérée par Lagrange il est essentiel d’en adjoindre une autre dont l’effet est de s’opposer aux variations de la seconde courbure. La complication des formules qui expriment cette seconde courbure nous empêche de conserver, en développant les conséquences de cette remarque, la notation et la marche suivie par Lagrange. Nous nous bornerons à former directement les équations de l’équilibre en imitant la méthode exposée par Poisson dans un Article de la Correspondance sur l’École Polytechnique (t. III, p. 355).
Considérons une ligne élastique en équilibre dont tous les points soient sollicités par des forces données. Si nous supposons que la partie comprise entre un point quelconque et l’extrémité devienne inflexible et fixe, et que l’autre partie devienne seulement inflexible en conservant la liberté de tourner autour du point l’équilibre ne sera pas détruit, et, par conséquent, la force d’élasticité développée en doit détruire le couple auquel équivalent, à cause de la fixité du point les forces agissant sur la portion de la courbe. Or nous admettrons que la force d’élasticité peut produire deux couples, l’un, auquel Lagrange a eu égard, agissant dans le plan osculateur et tendant à restituer à la courbure sa valeur primitive ; l’autre, ayant pour axe la tangente à la courbe élastique, et tendant à détruire la torsion, en restituant à la seconde courbure sa valeur primitive. Nommons ces deux couples et Nous allons prouver d’abord que est constant, quelles que soient les formes données et la forme primitive de la courbe.
Pour déterminer, en effet, les deux couples et il faut réduire les forces qui agissent sur la portion de la courbe à une force passant par le point et à un couple Ce couple doit être équivalent aux deux couples et ayant respectivement pour axes la tangente à la courbe proposée et une perpendiculaire à son plan osculateur. Si nous recommençons les
