Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/477

459

NOTES.

qui est permis, à cause de la constante arbitraire. Déterminons la constante en ayant égard à l’état initial donné, pour lequel nous désignerons par $v_{0},\,\lambda _{0},\,\mu _{0},$ $\nu _{0},\,\ldots$ les valeurs de $v,\,\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots .$ On a ainsi

$\sum mv^{2}=\varphi (\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots )-\varphi (\lambda _{0},\,\mu _{0},\,\nu _{0},\,\ldots )+\sum mv_{0}^{2}.$

Puisque par hypothèse $\varphi (\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots ),$ pour $\lambda =0,$ $\mu =0,\ldots ,$ est nul et maximum, on pourra déterminer des grandeurs positives $l,\,m,\,n,\,\ldots ,$ assez petites pour que $\varphi (\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots )$ soit toujours négatif pour tout système $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots$ où les valeurs absolues des variables sont respectivement assujetties à ne pas dépasser les limites $l,\,m,\,n,\,\ldots ,$ excepté, toutefois, le seul cas où $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots$ sont nuls à la fois. Ce cas est exclu si nous ne considérons que des systèmes tels, qu’au moins une des variables $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots$ soit égale en valeur absolue à sa limite $l,\,m,\,n,\,\ldots .$ Supposons que, de toutes les valeurs négatives de la fonction pour de tels systèmes, $-p,$ abstraction faite du signe, soit la plus petite alors on peut facilement montrer que, si l’on prend $\lambda _{0},\,\mu _{0},\,\nu _{0},\,\ldots$ numériquement plus petits que $l,\,m,\,n,\,\ldots ,$ et que l’on satisfasse en même temps à l’inégalité

$-\varphi (\lambda _{0},\,\mu _{0},\,\nu _{0},\,\ldots )+\sum mv_{0}^{2}<p,$

chacune des variables $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots$ restera pendant toute la durée du mouvement au-dessous des limites $l,\,m,\,n,\,\ldots .$ En effet, si le contraire avait lieu, comme les valeurs initiales $\lambda _{0},\,\mu _{0},\,\nu _{0},\,\ldots$ remplissent la condition que nous venons d’énoncer, et à cause de la continuité des variables $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots ,$ il faudrait d’abord qu’à un cerlain instant il y eût égalité entre une ou plusieurs valeurs numériques de $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots$ et leurs limites respectives $l,\,m,\,n,\,\ldots ,$ sans qu’aucune des autres valeurs eût dépassé sa limite. À cet instant, la valeur absolue de $\varphi (\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots )$ serait supérieure ou au moins égale à $p.$ Par conséquent, le second membre de l’équation des forces vives serait négatif, à cause de l’inégalité écrite plus haut, et qui se rapporte à l’état initial ; ce qui n’est pas possible, $\sum mv^{2}$ étant toujours positif.

Il suit encore de là, évidemment, que les vitesses $v$ seront toujours comprises entre des limites, déterminées, puisque l’on a toujours

$\sum mv^{2}\leqq \sum mv_{0}^{2}-\varphi (\lambda _{0},\,\mu _{0},\,\nu _{0},\,\ldots ).$

Il est évident aussi que les limites pour chaque vitesse, ainsi que celles de chaque variable $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots ,$ peuvent être aussi petites que l’on voudra, puisque les quantités $l,\,m,\,n,\,\ldots$ peuvent devenir aussi petites que l’on voudra.