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NOTES.

on peut très bien conclure que le système des forces $\Xi ,\,\Pi ,\,\Sigma ,\,\ldots$ est capable de remplacer le système des forces proposées $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\,\ldots .$

Mais si les différentielles $d\xi ,\,d\pi ,\,d\sigma ,\,\ldots$ n’ont pas la propriété dont il s’agit, chaque terme $\Xi d\xi$ ne sera pas le moment virtuel d’une force telle que $\Xi ,$ et, d’après le principe même des vitesses virtuelles, on ne pourra pas conclure, comme ci-dessus, que l’ensemble des forces $\Xi ,\,\Pi ,\,\Sigma ,\,\ldots$ soit équivalent à l’ensemble des forces proposées. C’est là précisément qu’on tomberait dans cette erreur singulière, de tirer d’un principe vrai et d’une équation exacte une conséquence fausse, parce qu’on aurait oublié d’observer que cette équation n’est pas actuellement sous une forme qui convienne à l’expression du principe. Et, en même temps, c’est là qu’on voit le moyen d’éviter cette erreur sans changer les coordonnées $\xi ,\,\pi ,\,\sigma ,\,\ldots ,$ qui pourraient y donner lieu.

Car, si l’on voulait avoir les vraies forces $\Xi ',\,\Pi ',\,\Sigma ',\,\ldots ,$ qui, dirigées suivant les coordonnées $\xi ,\,\pi ,\,\sigma ,\,\ldots ,$ sont capables de remplacer les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R,\,S} ,\,\ldots ,$ il faudrait commencer par mettre dans l’équation, au lieu des différentielles $d\xi ,\,d\pi ,\,d\sigma ,\,\ldots ,$ leurs valeurs en fonction des vitesses virtuelles mêmes, que je désignerai, comme au n^o 3, par $\delta \xi ,\,\delta \pi ,\,\delta \sigma ,\,\ldots ,$ ensuite rassembler en un seul terme tous ceux qui seraient affectés de $\delta \xi ,$ de même en un seul tous les termes affectés de $\delta \pi ,\ldots \,;$ et alors, notre même équation étant mise sous la forme nouvelle

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots =\Xi '\delta \xi +\Pi '\delta \pi +\Sigma '\delta \sigma +\ldots ,$

on pourrait rigoureusement conclure que l’ensemble des forces $\Xi ',\,\Pi ',\,\Sigma '$ équivaut parfaitement à l’ensemble des forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\,\ldots ,$ puisque la somme des moments virtuels est toujours égale de part et d’autre.

9. Si l’on veut faire ce calcul pour le cas des coordonnées $\xi ,\,\pi ,\,\sigma$ parallèles à trois axes obliques, on trouvera, en conservant les dénominations du n^o 3, les valeurs suivantes :

${\begin{aligned}\Xi '=&{\frac {\Xi \left(1-\nu ^{2}\right)\,+\Pi (\mu \nu -\lambda )+\Sigma (\lambda \nu -\mu )}{1-\lambda ^{2}-\mu ^{2}-\nu ^{2}+2\lambda \mu \nu }},\\\Pi '=&{\frac {\Pi \left(1-\mu ^{2}\right)+\Sigma (\lambda \mu -\nu )+\Xi (\mu \nu -\lambda )}{1-\lambda ^{2}-\mu ^{2}-\nu ^{2}+2\lambda \mu \nu }},\\\Sigma '=&{\frac {\Sigma \left(1-\nu ^{2}\right)\,+\Xi (\lambda \mu -\nu )+\Pi (\lambda \nu -\mu )}{1-\lambda ^{2}-\mu ^{2}-\nu ^{2}+2\lambda \mu \nu }},\\\end{aligned}}$

valeurs qui ne sont pas, comme on voit, les mêmes que celles de $\Xi ,\,\Pi ,\,\Sigma ,$ et qui n’y pourraient revenir que dans le cas des cosinus $\lambda ,\,\mu ,\,\nu$ tous trois nuls,