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NOTES.

dans ce nouvel exemple, aussi général que le principe de la composition des forces. Il n’est pas même aussi direct ; car, s’il mène aux trois premières équations en employant les coordonnées rectangles $x,\,y,\,z,$ il ne peut plus donner les trois dernières équations que par un changement de ces coordonnées en d’autres d’une espèce différente, et dont le choix paraît arbitraire, ou ne semble fait que pour obtenir des équations d’équilibre que l’on connaissait d’avance.

Au reste, quoique Lagrange nous laisse entendre que, dans sa méthode, on peut employer toute espèce de coordonnées, pourvu qu’elles soient propres à déterminerles lieux des corps, il est fort remarquable que ce géomètre n’en ait jamais employé d’autres que celles qui conviennent réellement au principe des vitesses virtuelles du moins je n’en connais pas d’exemple, et je crois même qu’on n’en trouverait point dans ses écrits. Car si, pour la solution de quelque problème, il avait essayé l’emploi de certaines coordonnées non permises dans sa méthode, il est très probable que, par l’erreur sensible de quelque résultat, il eût été averti du défaut de ses formules ; et alors il n’aurait pas manqué de faire lui-même, à ce sujet, une remarque expresse, au moins dans la 2^e édition de son bel Ouvrage.

8. Quoi qu’il en soit, tout aurait pu se corriger d’une manière très simple, et qu’il me paraît hon d’indiquer avant de terminer cette Note, parce qu’on y voit sur-le-champ ce qui cause l’erreur, et, de plus, ce qu’il faudrait faire pour l’éviter, sans exclure l’emploi de ces coordonnées qui y donnent lieu.

Et, en effet, quelle que soit la nature de ces coordonnées $\xi ,\,\pi ,\,\sigma ,\,\ldots ,$ dans lesquelles on veuille transformer les lignes ou rayons vecteurs $p,\,q,\,r,\,\ldots ,$ il est certain qu’on peut toujours, avec Lagrange, poser l’équation parfaitement exacte

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots =\Xi d\xi +\Pi d\pi +\Sigma d\sigma +\ldots ,$

où $\Xi ,\,\Pi ,\,\Sigma ,\,\ldots$ ont les valeurs exprimées par les équations du n^o 1.

Or, maintenant, j’observe que, dans le premier membre, les différentielles $dp,\,dq,\,dr,\,\ldots$ marquent bien les vitesses virtuelles du point d’application des forces suivant les lignes $p,\,q,\,r,\,\ldots ,$ et qu’ainsi chaque terme $\mathrm {P} dp$ est le moments virtuel de la force $\mathrm {P} .$ Si, dans le second membre, les différentielles de $d\xi ,\,d\pi ,\,d\sigma ,\,\ldots$ ont la même propriété, c’est-à-dire si chacune, $d\xi ,$ marque la vitesse virtuelle du point suivant $\xi ,$ chaque terme $\Xi d\xi$ sera aussi le moment virtuel d’une force représentée par $\Xi \,;$ et alors, de cette équation, qui présente deux sommes de moments virtuels, toujours égales de part et d’autre,