Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/471

453

NOTES.

exclure toutes les coordonnées $\xi ,\,\pi ,\,\sigma ,$ qui ne jouiraient pas de la même propriété. Ainsi il n’est pas exact de dire que, dans cette méthode analytique, rien n’oblige à se servir de coordonnées rectangles, plutôt que d’autres lignes ou quantités relatives aux lieux des corps, etc. (Mécanique analytique, 4^e édition, p. 39) ; et l’on doit même remarquer, à ce sujet, que le principe des vitesses virtuelles ne donne pas une méthode aussi générale qu’on paraît le croire.

Et, par exemple, dans le cas de plusieurs forces $\mathrm {P,\,Q,\,R,\,S} ,$ etc., en équilibre sur un point, le principe des vitesses virtuelles dit simplement que les forces, étant projetées perpendiculairement sur une droite quelconque menée par ce point, doivent faire une somme nulle. Car, en nommant $du$ la ligne quelconque qui marque le déplacement du point d’application dans l’espace, les lignes $dp,\,dq,\,dr,\,\ldots$ ne sont autre chose que les projections droites de $du$ sur les lignes $p,\,q,\,r,\,\ldots ,$ qui marquent les directions des forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots .$ En nommant donc $i,i',i'',\ldots$ les inclinaisons de ces forces sur la ligne $du,$ on a

$dp=du\cos i,\qquad dq=du\cos i',\qquad dr=du\cos i'',\qquad \ldots ,$

et l’équation des vitesses virtuelles

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots =0$

devient, en divisant tout par le facteur commun $du,$

$\mathrm {P} \cos i+\mathrm {Q} \cos i'+\mathrm {R} \cos i''+\ldots =0\,;$

ce qui signifie que les forces, projetées à angle droit sur un axe quelconque, doivent faire une somme nulle dans le cas de l’équilibre. Mais le principe de la composition des forces dit, plus généralement, que, les forces étant projetées sur un axe quelconque par des lignes parallèles à un même plan incliné comme on voudra sur cet axe, la somme de toutes ces projections obliques doit être nulle. Ce n’est pas qu’on ne puisse aisément démontrer cette seconde proposition par la première, mais l’expression du second principe est évidemment plus générale que celle du principe des vitesses virtuelles.

De même, on peut remarquer que les équations de l’équilibre d’un système solide ne sont démontrées, dans la Mécanique analytique, que par rapport à trois axes rectangulaires entre eux ; et pourtant, comme je l’ai fait voir dans ma Statique, des équations toutes semblables ont lieu par rapport à trois axes obliques quelconques. Le principe des vitesses virtuelles n’est donc pas,