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NOTES.
inclinée d’un angle
sur la première, ce qui donnera
![{\displaystyle x=\xi +\pi \cos \alpha ,\qquad y=\sin \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e79991b509fe99f77d827a74df6197e2e026d284)
on aura, en substituant,
![{\displaystyle f(x,y)=\varphi (\xi ,\pi )=\pi ^{2}+\xi ^{2}+2\pi \xi \cos \alpha =\mathrm {const} .\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04caa3fcfdd0dde58c422effec9fa79845721f3a)
d’où
![{\displaystyle \varphi '(\xi )d\xi +\varphi '(\pi )d\pi =2(\xi +\pi \cos \alpha )d\xi +2(\pi +\xi \cos \alpha )d\pi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a019465d3ee2c5a35944efb4a32a181e10ee038)
Or il est évident que deux forces proportionnelles à
et
c’est-à-dire, ici, à
et
ne donnent point leur résultante perpendiculaire à la circonférence du cercle dont il s’agit ; car il faudrait pour cela que cette résultante allât passer par le centre, et que, par conséquent, ses deux composantes le long de
et
fussent simplement proportionnelles à
et
et non pas à
et ![{\displaystyle (\pi +\xi \cos \alpha ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a6ebd87deb6e3548481a9160887358f393bac6)
Donc, quoiqu’on ait ici, en faisant
les équations
![{\displaystyle \Xi =\mathrm {X} {\frac {\partial x}{\partial \xi }}+\mathrm {Y} {\frac {\partial y}{\partial \xi }},\qquad \Pi =\mathrm {X} {\frac {\partial x}{\partial \pi }}+\mathrm {Y} {\frac {\partial y}{\partial \pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0362e716264550bf82b70c2d96735ca810b93ca)
on ne peut pas dire que les deux forces
et
dirigées suivant les axes rectangles
et
soient réductibles aux deux forces
et
dirigées suivant les axes obliques
et ![{\displaystyle \pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94b721b560eaa34cbf1e346505aca908d473be5)
Pour que l’on eût
![{\displaystyle \xi +\pi \cos \alpha :\pi +\xi \cos \alpha ::\xi :\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd51de09687ab8a3495efef81d83624c75cbc53)
il faudrait que l’on eût
![{\displaystyle \cos \alpha =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/101d0083311420bebc46a977731a27f024ba37ff)
ce qui est le cas des coordonnées
et
rectangulaires entre elles.
Ou bien il faudrait
ce qui ne serait qu’un cas particulier de la position du point proposé
sur la circonférence du cercle dont l’équation est
![{\displaystyle \varphi (\xi ,\pi )=\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787f1c6561f2794fe013bd1cbdb0ff6aae0dae0b)
Mais, dans ce cas singulier même, où la résultante des deux forces
et
aurait la même direction que celle des deux forces
et
on trouverait que ces deux résultantes
![{\displaystyle {\sqrt {\Xi ^{2}+2\Xi \Pi \cos \alpha +\Pi ^{2}}}\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f1bf73ccd9c76085f29d526f35c9bcb4a681ea)
n’ont pas la même valeur, et que la première est à la seconde comme
est à l’unité.