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NOTES.

inclinée d’un angle $\alpha$ sur la première, ce qui donnera

$x=\xi +\pi \cos \alpha ,\qquad y=\sin \alpha ,$

on aura, en substituant,

$f(x,y)=\varphi (\xi ,\pi )=\pi ^{2}+\xi ^{2}+2\pi \xi \cos \alpha =\mathrm {const} .\,;$

d’où

$\varphi '(\xi )d\xi +\varphi '(\pi )d\pi =2(\xi +\pi \cos \alpha )d\xi +2(\pi +\xi \cos \alpha )d\pi =0.$

Or il est évident que deux forces proportionnelles à $\varphi '(\xi )$ et $\varphi '(\pi ),$ c’est-à-dire, ici, à $(\xi +\pi \cos \alpha )$ et $(\pi +\xi \cos \alpha ),$ ne donnent point leur résultante perpendiculaire à la circonférence du cercle dont il s’agit ; car il faudrait pour cela que cette résultante allât passer par le centre, et que, par conséquent, ses deux composantes le long de $\xi$ et $\pi$ fussent simplement proportionnelles à $\xi$ et $\pi ,$ et non pas à $(\xi +\pi \cos \alpha )$ et $(\pi +\xi \cos \alpha ).$

Donc, quoiqu’on ait ici, en faisant $\varphi '(\xi )=\Xi ,$ $\varphi '(\pi )=\Pi ,$ les équations

$\Xi =\mathrm {X} {\frac {\partial x}{\partial \xi }}+\mathrm {Y} {\frac {\partial y}{\partial \xi }},\qquad \Pi =\mathrm {X} {\frac {\partial x}{\partial \pi }}+\mathrm {Y} {\frac {\partial y}{\partial \pi }},$

on ne peut pas dire que les deux forces $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ dirigées suivant les axes rectangles $x$ et $y,$ soient réductibles aux deux forces $\Xi$ et $\Pi ,$ dirigées suivant les axes obliques $\xi$ et $\pi .$

Pour que l’on eût

$\xi +\pi \cos \alpha :\pi +\xi \cos \alpha ::\xi :\pi ,$

il faudrait que l’on eût

$\cos \alpha =0\,;$

ce qui est le cas des coordonnées $\xi$ et $\pi$ rectangulaires entre elles.

Ou bien il faudrait $\xi =\pi \,;$ ce qui ne serait qu’un cas particulier de la position du point proposé $\mathrm {M}$ sur la circonférence du cercle dont l’équation est

$\varphi (\xi ,\pi )=\mathrm {const} .$

Mais, dans ce cas singulier même, où la résultante des deux forces $\Xi$ et $\Pi$ aurait la même direction que celle des deux forces $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ on trouverait que ces deux résultantes

${\sqrt {\Xi ^{2}+2\Xi \Pi \cos \alpha +\Pi ^{2}}}\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$

n’ont pas la même valeur, et que la première est à la seconde comme $1+\cos \alpha$ est à l’unité.