Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/467

449

NOTES.

ou bien, comme $ds$ est la diagonale d’un rhomboïde dont les différentielles $d\xi ,$ $d\pi ,\,d\sigma$ sont les arêtes, et que les trois projections de $ds$ sur les directions de ces arêtes sont exprimées par

${\begin{aligned}\delta \xi =&d\xi +\lambda d\pi +\mu d\sigma ,\\\delta \pi =&d\pi +\nu d\sigma +\lambda d\xi ,\\\delta \sigma =&d\sigma +\mu d\xi +\nu d\pi ,\\\end{aligned}}$

($\lambda ,\,\mu ,\,\nu$ étant les cosinus des angles ${\widehat {\xi \pi }},\,{\widehat {\xi \sigma }},\,{\widehat {\pi \sigma }},$ que les axes forment entre eux), il faudrait que, en mettant, au lieu de $\delta \xi ,\,\delta \pi ,\,\delta \sigma ,$ ces valeurs, on eût toujours, entre les différentielles $d\xi ,d\pi ,d\sigma ,$ l’équation

(1)

$\left\{{\begin{aligned}\left[\varphi '(\xi )+\lambda \varphi '(\pi )+\mu \varphi '(\sigma )\right]d\xi &+\left[\varphi '(\pi )+\nu \varphi '(\sigma )+\lambda \varphi '(\xi )\right]d\pi \\&+\left[\varphi '(\sigma )+\mu \varphi '(\xi )+\nu \varphi '(\pi )\right]d\sigma =0.\end{aligned}}\right.$

D’un autre côté, le point mobile restant toujours sur la surface, il faudrait qu’on eût en même temps l’équation

(2)

$\varphi '(\xi )d\xi +\varphi '(\pi )d\pi +\varphi '(\sigma )d\sigma =0.$

Or il est clair que ces équations (1) et (2) ne peuvent subsister ensemble à moins que les coefficients de $d\xi ,\,d\pi ,\,d\sigma$ dans l’une d’elles ne soient proportionnels aux coefficients des mêmes indéterminées dans l’autre, et, par conséquent, à moins qu’on n’ait les deux équations

${\begin{aligned}\varphi '(\xi )\left[\nu \varphi '(\sigma )+\lambda \varphi '(\xi )\right]&-\varphi '(\pi )\left[\lambda \varphi '(\pi )+\mu \varphi '(\sigma )\right]=0,\\\varphi '(\xi )\left[\nu \varphi '(\pi )+\mu \varphi '(\xi )\right]&-\varphi '(\sigma )\left[\lambda \varphi '(\pi )+\mu \varphi '(\sigma )\right]=0,\end{aligned}}$

équations qui ne peuvent avoir lieu en général, c’est-à-dire indépendamment des variables $\xi ,\,\pi ,\,\sigma$ a et, par conséquent, de la position du point sur la surface que l’on considère.

Ainsi le point mobile, aux coordonnées quelconques $\xi ,\,\pi ,\,\sigma ,$ ne peut être tenu en équilibre sur la surface par les trois forces $\varphi '(\xi ),\,\varphi '(\pi ),\,\varphi '(\sigma )\,:$ la résultante de ces forces n’est donc pas normale à cette surface, et, par conséquent, elle n’est pas la même que celle des forces proposées $f'(p),\,f'(q),\,f'(r),\,\ldots \,;$ ce qu’il fallait démontrer.

4. Les formules de Lagrange pour la réduction des forces sont donc en défaut dans cette hypothèse de coordonnées obliques $\xi ,\,\pi ,\,\sigma \,;$ il n’y a qu’un cas singulier où l’erreur pourrait s’évanouir c’est le cas où les coordonnées $\xi ,\,\pi ,\,\sigma$