Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/466

448

NOTES.

d’où l’on tire, en différentiant successivement par rapport à $\xi ,\,\pi ,\,\sigma ,$

${\begin{aligned}f'(p){\frac {\partial p}{\partial \xi }}+f'(q){\frac {\partial q}{\partial \xi }}+f'(r)\,{\frac {\partial r}{\partial \xi }}+\ldots =&\varphi '(\xi ),\\f'(p){\frac {\partial p}{\partial \pi }}+f'(q){\frac {\partial q}{\partial \pi }}+f'(r){\frac {\partial r}{\partial \pi }}+\ldots =&\varphi '(\pi ),\\f'(p){\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+f'(q){\frac {\partial q}{\partial \sigma }}+f'(r){\frac {\partial r}{\partial \sigma }}+\ldots =&\varphi '(\sigma ),\\\end{aligned}}$

Donc, suivant les formules de l’auteur, les trois forces $\Xi ,\,\Pi ,\,\Sigma ,$ auxquelles les forces $f'(p),\,f'(q),\,f'(r),\,\ldots$ se trouveraient réduites, seraient exprimées par

$\Xi =\varphi '(\xi ),\qquad \Pi =\varphi '(\pi ),\qquad \Sigma =\varphi '(\sigma ).$

Ainsi il faudrait que $\varphi '(\xi ),\,\varphi '(\pi ),\,\varphi '(\sigma )$ représentassent trois forces dont la résultante fût la même que celle des proposées $f'(p),\,f'(q),\,f'(r),\,\ldots$ et, par conséquent, fût perpendiculaire à la surface donnée par l’équation

$f(p,q,r,\ldots )=\mathrm {const} .$

Or cette surface est la même que celle qui serait donnée par l’équation

$\varphi (\xi ,\,\pi ,\,\sigma )=\mathrm {const} .$

entre les coordonnées obliques $\xi ,\,\pi ,\,\sigma .$ Donc, en considérant la surface représentée par l’équation

$\varphi (\xi ,\,\pi ,\,\sigma )=\mathrm {const} .$

entre les trois coordonnées $\xi ,\,\pi ,\,\sigma ,$ relatives à trois axes obliques, on pourrait dire que trois forces dirigées suivant ces coordonnées et proportionnelles aux trois fonctions primes $\varphi '(\xi ),\,\varphi '(\pi ),\,\varphi '(\sigma )$ donnent une résultante perpendiculaire à la surface dont il s’agit, ou se font équilibre sur cette surface ; ce qui est faux, comme on peut s’en assurer immédiatement par le principe même des vitesses virtuelles.

Et, en effet, pour l’équilibre du point auquel les trois forces $\varphi '(\xi ),$ $\varphi '(\pi ),\,\varphi '(\sigma )$ sont appliquées, il faudrait que la somme des moments virtuels de ces forces fût nulle pour tout déplacement infiniment petit $ds$ qu’on voudrait donner à ce point sur la surface. Si donc on désigne par $\delta \xi ,\,\delta \pi ,\,\delta \sigma$ les trois projections orthogonales de $ds$ sur les trois axes obliques des $\xi ,\,\pi ,\,\sigma ,$ il faudrait, pour l’équilibre, qu’on eût toujours l’équation

$\varphi '(\xi )\delta \xi +\varphi '(\pi )\delta \pi +\varphi '(\sigma )\delta \sigma =0\,;$