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NOTES.

sans quoi toutes ces transformations analytiques, quoique exactes en pure Analyse, seront en défaut dans la Mécanique et conduiront à de fausses conséquences.

3. Supposons, par exemple, qu’il s’agisse d’un seul point tiré par des forces quelconques $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\,\ldots$ dirigées suivant les lignes ou rayons vecteurs$p,\,q,\,r,\,\ldots ,$ et qu’on veuille réduire ces forces à trois autres $\Xi ,\,\Pi ,\,\Sigma ,$ suivant les trois coordonnées $\xi ,\,\pi ,\,\sigma ,$ parallèles à trois axes fixes obliques entre eux il semble, d’après l’auteur, qu’on aurait pour les forces cherchées

${\begin{aligned}\Xi =&\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \xi }}\,+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \xi }}+\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial \xi }}+\ldots ,\\\Pi =&\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \pi }}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \pi }}+\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial \pi }}+\ldots ,\\\Sigma =&\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \sigma }}+\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial \sigma }}+\ldots \,;\end{aligned}}$

ce qui n’est pas vrai, car on peut prouver que la résultante des forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\,\ldots$ n’est pas la même que celle des trois forces $\Xi ,\,\Pi ,\,\Sigma ,$ déterminées par ces équations.

Soit, en effet, $f(p,q,r,\ldots )$ une fonction quelconque des rayons vecteurs $p,\,q,\,r,\,\ldots \,;$ et désignons par $f'(p),\,f'(q),\,f'(r),\,\ldots$ les fonctions primes de cette fonction prises relativement aux lignes $p,\,q,\,r,\,\ldots .$ J’ai démontré^[1] que des forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\,\ldots ,$ proportionnelles à ces fonctions primes et dirigées suivant les lignes respectives $p,\,q,\,r,\,\ldots ,$ ont une résultante perpendiculaire à la surface courbe qui serait donnée par l’équation

$f(p,q,r,\ldots )=\mathrm {const} .,$

en y regardant $p,\,q,\,r,\,\ldots$ comme variables.

Or supposons maintenant trois axes obliques, non situés dans le même plan, et soient $\xi ,\,\pi ,\,\sigma$ les trois coordonnées du point d’application des forces par rapport à ces axes on pourra toujours exprimer les lignes $p,\,q,\,r,\,\ldots$ par les trois coordonnées $\xi ,\,\pi ,\,\sigma \,;$ et si l’on met ces expressions au lieu de $p,\,q,\,r,\,\ldots$ dans la fonction $f(p,q,r,\ldots ),$ on aura

$f(p,q,r,\ldots )=\varphi (\xi ,\,\pi ,\,\sigma )=\mathrm {const} .\,;$

1. Voyez la Statique de M. Poinsot et un Mémoire intitulé : Théorie générale de l’équilibre et du mouvement des systèmes (Journal de l’École Polytechnique, XIII^e Cahier). (J. Bertrand.)