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NOTES.

et l’équation précédente devra avoir lieu par rapport aux variations de ces trois quantités en particulier ; d’où il s’ensuit qu’on aura

\Xi =\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \xi }}\,+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \xi }}+\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial \xi }}+\ldots ,

\Pi =\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \pi }}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \pi }}+\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial \pi }}+\ldots ,

\Sigma =\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \sigma }}+\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial \sigma }}+\ldots

^[1] »

Telles sont les formules données par Lagrange pour réduire des forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\,\ldots ,$ appliquées sur un même point et dirigées suivant des lignes $p,\,q,\,r,\,\ldots ,$ à trois autres forces $\Xi ,\,\Pi ,\,\Sigma ,$ dirigées suivant trois lignes quelconques données $\xi ,\,\pi ,\,\sigma \,;$ expressions d’ailleurs toutes semblables à celles qu’on aurait pour transformer un système quelconque de forces qui agissent sur différents points liés entre eux, comme on voudra, en un autre système équivalent de forces $\Xi ,\,\Pi ,\,\Sigma ,\ldots ,$ qui seraient appliquées aux mêmes points suivant d’autres directions $\xi ,\,\pi ,\,\sigma ,\,\ldots .$

2. Mais il y a, sur ce point de doctrine, une remarque essentielle à faire, et qui paraît avoir échappé à l’auteur de la Mécanigue analytique c’est que les formules dont il s’agit ne conviennent point, comme on pourrait le croire, à toute espèce de lignes ou coordonnées $\xi ,\,\pi ,\,\sigma ,\,\ldots ,$ bien que ces lignes soient propres à déterminer les lieux des corps. Les formules ne sont bonnes qu’autant que ces lignes nouvelles seront (comme les premières $p,\,q,\,r,\,\ldots$ ) les distances de ces corps, soit à des centres fixes, soit à des plans fixes, comme il arrive dans le cas des coordonnées ordinaires $x,y,z,$ lesquelles marquent les distances du point que l’on considère à trois plans fixes rectangulaires entre eux ; et, en général, on peut dire que, pour l’exactitude de ces formules, il faut que les lignes $\xi ,\,\pi ,\,\sigma ,\,\ldots$ soient de telle nature, que leurs différentielles $d\xi ,\,d\pi ,\,d\sigma ,\,\ldots$ expriment les vitesses virtuelles mêmes du point d’application des forces $\Xi ,\,\Pi ,\,\Sigma ,\ldots ,$ c’est-à-dire que chacune d’elles, $d\xi ,$ soit la projection orthogonale, sur la direction de la force $\Xi ,$ du déplacement quelconque infiniment petit qu’on suppose donné à ce point dans l’espace :

↑ Les lignes qui précèdent sont extraites de la 1^re édition, page 62 ; elles ont été légèrement modifiées par Lagrange, dans la 2^e édition publiée par lui (voyez p. 119 de ce Volume) ; mais les remarques de M. Poinsot s’appliquent à la rédaction nouvelle aussi bien qu’à l’ancienne. (J. Bertrand.)

[1] Les lignes qui précèdent sont extraites de la 1^re édition, page 62 ; elles ont été légèrement modifiées par Lagrange, dans la 2^e édition publiée par lui (voyez p. 119 de ce Volume) ; mais les remarques de M. Poinsot s’appliquent à la rédaction nouvelle aussi bien qu’à l’ancienne. (J. Bertrand.)

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