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NOTES.

NOTE I.

Sur un point fondamental de la Mécanique analytique de Lagrange ;
par M. Poinsot.

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1. On sait que Lagrange, dans ce Livre célèbre qu’il a intitulé Mécanique analytique, a eu pour objet de réduire la Mécanique à des formules générales, toutes tirées du seul principe des vitesses virtuelles, ou plutôt de la formule différentielle qui est l’expression de ce principe. Pour la perfection même de son Ouvrage, l’auteur a soin de n’employer, dans aucune des questions qu’il traite, ni figures, ni aucun raisonnement tiré de considérations géométriques ou mécaniques ; tout se fait par le calcul et de simples changements de coordonnées, et ce n’est même que sous une forme purement analytique qu’on y voit présentée la question si naturelle et si simple de la composition des forces appliquées sur un point.

« Si des forces quelconques $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\dots ,$ dirigées suivant les lignes $p,\,q,\,r,\,\dots ,$ agissent sur un même point, et qu’on veuille réduire toutes ces forces à trois autres $\Xi ,\,\Pi ,\,\Sigma ,$ dirigées suivant les lignes $\xi ,\,\pi ,\,\sigma ,$ il n’y aura, dit l’auteur, qu’à considérer l’équilibre des forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\dots$ et $\Xi ,\,\Psi ,\,\Phi ,$ appliquées à ce même point et dirigées respectivement suivant les lignes $p,\,q,\,r,\,\dots ,-\xi ,\,-\psi ,\,-\varphi ,$ et former, en conséquence, l’équation

$\mathrm {P} dp+\,\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\dots -\Xi d\xi -\Psi d\psi -\Phi d\varphi =0,$

laquelle doit être vraie de quelque manière qu’on fasse varier la position du point de concours de toutes les forces. Or, quelles que soient les lignes $\xi ,\,\pi ,\,\sigma ,$ il est clair que, pourvu qu’elles ne soient pas toutes dans un même plan, elles suffisent pour déterminer la position de ce point ; par conséquent, on pourra toujours exprimer les lignes $p,\,q,\,r,\,\dots$ par des fonctions de $\xi ,\,\pi ,\,\sigma ,$