Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/461

443

SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

dont le rang serait marqué par un nombre quelconque $r,$ entier ou fractionnaire, puisqu’en faisant successivement $r=1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,n,$ la formule donne $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},\,\alpha _{3},\,\ldots ,\,\alpha _{n}.$

Le signe _S indique la somme de tous les termes qui répondent à $s=1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,n,$ et le signe $\sum$ la somme de tous les termes qui répondent à $\rho =1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,n,$ la quantité $\pi$ étant l’angle de deux droits.

Supposons qu’il n’y ait qu’un terme $\alpha _{1}$ donné, on fera $n=1,$ $s=1,$ $\rho =1,$ et l’on aura, pour l’expression générale de $\alpha _{r},$

$\alpha _{r}=\alpha _{1}\sin {\frac {r\pi }{2}}.$

Soient $n=2,$ et lesdeux termes donnés $\alpha _{1},\,\alpha _{2}\,;$ on fera $s=1,\,2,$ $\rho =1,\,2,$ et l’on aura

$\alpha _{r}={\frac {2}{3}}\left(\mathrm {A} '\sin {\frac {r\pi }{3}}+\mathrm {A} ''\sin {\frac {2r\pi }{3}}\right),$

en supposant

${\begin{aligned}\mathrm {A} '\ =&\alpha _{1}\sin \ \ {\frac {\pi }{3}}+\alpha _{2}\sin {\frac {2\pi }{3}},\\\mathrm {A} ''=&\alpha _{1}\sin {\frac {2\pi }{3}}+\alpha _{2}\sin {\frac {4\pi }{3}}.\end{aligned}}$

Soient $n=3,$ et les termes donnés $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\alpha _{3}\,;$ on fera $s=1,\,2,\,3,$ et $\rho =1,\,2,\,3,$ et l’on aura

$\alpha _{r}={\frac {2}{4}}\left(\mathrm {A} '\sin {\frac {r\pi }{4}}+\mathrm {A} ''\sin {\frac {2r\pi }{4}}+\mathrm {A} '''\sin {\frac {3r\pi }{4}}\right),$

où les coefficients $\mathrm {A',A'',A'''}$ sont déterminés par ces formules

${\begin{aligned}\mathrm {A} '\ \;=&\alpha _{1}\sin \ \ {\frac {\pi }{4}}+\alpha _{2}\sin {\frac {2\pi }{4}}+\alpha _{3}\sin {\frac {3\pi }{4}},\\\mathrm {A} ''\ =&\alpha _{1}\sin {\frac {2\pi }{4}}+\alpha _{2}\sin {\frac {4\pi }{4}}+\alpha _{3}\sin {\frac {6\pi }{4}},\\\mathrm {A} '''=&\alpha _{1}\sin {\frac {3\pi }{4}}+\alpha _{2}\sin {\frac {6\pi }{4}}+\alpha _{3}\sin {\frac {9\pi }{4}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.