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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

satisfait aussi à la même équation en différences finies, qu’on peut représenter par

${\frac {\mathrm {D} ^{2}\,\!_{_{'}}\!\xi }{\mathrm {D} t^{2}}}-k^{2}{\frac {\mathrm {D} ^{2}\,\!_{_{'}}\!\xi }{\mathrm {D} x^{2}}}=0,$

pourvu qu’on y suppose $\mathrm {D} x=k\mathrm {D} t,$ et $\mathrm {D} t$ constant. En effet, on a, en ne faisant varier que $x,$

$\mathrm {D} ^{2}\!\,_{_{'}}\!\Phi (x+kt)=\Phi (x+\mathrm {D} x+kt)-2\Phi (x+kt)+\Phi (x-\mathrm {D} x+kt),$

et, en ne faisant varier que le $t,$

$\mathrm {D} ^{2}\!\,_{_{'}}\!\Phi (x+kt)=\Phi (x+kt+k\mathrm {D} t)-2\Phi (x+kt)+\Phi (x+kt-k\mathrm {D} t),$

expressions qui deviennent égales en faisant $\mathrm {D} x=k\mathrm {D} t\,;$ et l’on trouvera la même chose pour la fonction $\Psi (x-kt).$

Dans l’infiniment petit, la condition $dx=kdt$ disparaît, et l’intégrale a toujours lieu ; la raison en est qu’alors l’expression ${\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial t^{2}}}$ qui paraît représenter la différence seconde de $\xi$ divisée par le carré de la différence de $t,$ n’est plus qu’un symbole qui exprime une fonction simple de $t,$ dérivée de la fonction primitive $\xi$ et différente de cette fonction, laquelle est tout à fait indépendante de la valeur de $dt.$ Il en est de même de l’expression ${\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial x^{2}}},$ par rapport à $x\,;$ c’est dans ce changement de fonctions que consiste réellement le passage du fini à l’infiniment petit et l’essence du Calcul différentiel.

64. J’ajouterai encore ici une remarque qui peut être utile dans plusieurs occasions ; elle a pour objet une nouvelle méthode d’interpolation qui résulte des formules de l’article 48.

Nous avons vu que la formule

$\scriptstyle {\frac {2}{n+1}}\sum \left[\sin \left({\frac {r\rho \pi }{n+1}}\right)\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \alpha _{s}\sin \left({\frac {s\rho \pi }{n+1}}\right)\right]$

devient égale à $\alpha _{r}$ lorsque $r=1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,n.$ Donc, si l’on a une suite de quantités $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\alpha _{3},\,\ldots ,\,\alpha _{n},$ dont le nombre soit $n,$ on pourra représenter par la formule précédente un terme quelconque intermédiaire