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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

sances $\mathrm {P,Q,R} ,\dots ,$ et pourront, pour plus de simplicité, être prises pour ces vitesses.

Cela posé, ne considérons d’abord que deux puissances $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ en équilibre. Par la loi de l’équilibre entre deux puissances, il faudra que les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ soient entre elles en raison inverse des différentielles $dp,\,dq\,;$ mais il est aisé de concevoir qu’il ne saurait y avoir équilibre entre deux puissances, à moins qu’elles ne soient disposées de manière que, quand l’une d’elles se meut suivant sa propre direction, l’autre ne soit contrainte de se mouvoir dans un sens contraire à la sienne ; d’où il s’ensuit que les valeurs des différences $dp$ et $dq$ doivent être de signes contraires donc les valeurs des forces $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ étant supposées toutes deux positives, on aura, pour l’équilibre,

\mathrm {\frac {P}{Q}} =-{\frac {dq}{dp}}\quad

ou bien

\quad \mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq=0\,;

c’est la formule générale de l’équilibre de deux puissances.

Considérons maintenant l’équilibre de trois puissances $\mathrm {P,Q,R} ,$ dont les vitesses virtuelles soient représentées, par les différentielles $dp,$ $dq,$ $dr.$ Faisons $\mathrm {Q=Q'+Q''} ,$ et supposons, ce qui est permis, que la partie $\mathrm {Q'}$ ^[1] de la force $\mathrm {Q}$ soit telle, qu’on ait

\mathrm {P} dp+\mathrm {Q'} dq=0\,;

elle fera alors équilibre à la force $\mathrm {P} ,$ et il faudra, pour l’équilibre entier, que l’autre partie $\mathrm {Q''}$ de la même force $\mathrm {Q}$ fasse seule équilibre à la troisième force $\mathrm {R} ,$ ce qui donnera l’équation

\mathrm {Q''} dq+\mathrm {R} dr=0,

laquelle étant jointe à l’équation précédente, on aura, à cause de

↑ Ce raisonnement n’est exact qu’autant que l’on considère un déplacement déterminé du système. Si l’on ne fait pas cette restriction, le rapport ${\frac {dp}{dq}}$ peut recevoir toutes les valeurs possibles, et l’équation $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q'} dq=0$ ne peut être satisfaite pour aucune valeur déterminée de $\mathrm {Q'} .$ Il faudrait, par conséquent, pour compléter la démonstration de Lagrange, l’appliquer successivement à tous les déplacements possibles du système, en introduisant, à chaque fois, des liaisons nouvelles qui empêchent les autres déplacements de se produire. Lagrange, du reste, fait lui-même cette remarque (Sect. II, n^o 13).(J. Bertrand.)

[1] Ce raisonnement n’est exact qu’autant que l’on considère un déplacement déterminé du système. Si l’on ne fait pas cette restriction, le rapport ${\frac {dp}{dq}}$ peut recevoir toutes les valeurs possibles, et l’équation $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q'} dq=0$ ne peut être satisfaite pour aucune valeur déterminée de $\mathrm {Q'} .$ Il faudrait, par conséquent, pour compléter la démonstration de Lagrange, l’appliquer successivement à tous les déplacements possibles du système, en introduisant, à chaque fois, des liaisons nouvelles qui empêchent les autres déplacements de se produire. Lagrange, du reste, fait lui-même cette remarque (Sect. II, n^o 13).(J. Bertrand.)

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