ration des fonctions arbitraires, il sera prouvé que ces fonctions peuvent être d’une forme quelconque, continue ou discontinue, pourvu qu’elles représentent l’état initial de la corde. C’est ainsi que je démontrai, dans le premier Volume des Mémoires de Turin, la construction d’Euler, qui n’était encore fondée que sur des preuves insuffisantes. L’analyse que j’y employai est, à quelques simplifications près que j’y ai apportées depuis, la même que je viens de donner, et j’ai cru qu’elle ne serait pas déplacée dans ce Traité, parce qu’elle conduit directement à la solution rigoureuse d’une des questions les plus intéressantes de la Mécanique.
La généralité des fonctions arbitraires et leur indépendance de la loi de continuité étant démontrées pour l’intégrale de l’équation relative aux vibrations des cordes sonores, on est fondé à admettre ces fonctions, de la même manière, dans les intégrales des autres équations aux différences partielles ; j’ai même fait voir, dans le second Volume des Mémoires cités, comment on pouvait intégrer plusieurs de ces équations sans la considération des fonctions arbitraires, et parvenir aux mêmes solutions que l’on trouverait par le moyen de ces fonctions, envisagées dans toute leur étendue.
Maintenant, le principe de la discontinuité des fonctions est reçu généralement pour les intégrales de toutes les équations aux différences partielles ; et les constructions que M. Monge a données d’un grand nombre de ces équations, jointes à sa théorie de la génération des surfaces par les fonctions arbitraires, ne laissent plus aucune incertitude sur l’emploi des fonctions discontinues dans les problèmes qui dépendent des équations de ce genre.
63. C’est une chose digne de remarque que la même formule
qui satisfait à l’équation en différences partielles
