pour tous les points de la corde et pour tous les instants de son mouvement, la relation qu’elle représente doit régner constamment et uniformément entre les variables, quelque étendue qu’on leur donne ; par conséquent, quoique les fonctions arbitraires soient en elles-mêmes d’une forme indéterminée, néanmoins, lorsque cette forme est donnée dans une certaine étendue par l’état initial de la corde, il est naturel d’en conclure qu’elle doit demeurer la même dans toute l’étendue de la fonction, et qu’il n’est pas permis de la changer pour la plier aux conditions qui dépendent de l’immobilité supposée des extrémités de la corde.
Aussi d’Alembert, à qui on doit la découverte de cette intégrale en fonctions arbitraires, a toujours soutenu que la construction qui en résulte n’est légitime que lorsque la courbe initiale est telle qu’elle ait par sa nature des branches alternatives égales et semblables, toutes renfermées dans une même équation, pour que la même fonction puisse représenter cette courbe avec toutes ses branches à l’infini. Euler, au contraire, en adoptant la solution analytique de d’Alembert, a cru qu’il suffisait de transporter la courbe initiale alternativement au-dessus ou au-dessous de l’axe à l’infini pour en former une courbe continue, sans s’embarrasser si ses différentes branches pouvaient être liées par une même équation et assujetties à la loi de continuité des fonctions analytiques. Voir les Mémoires de Berlin de 1747, 1748, et les Tomes I et IV des Opuscules de d’Alembert.
62. Comme les formules qui donnent le mouvement d’une corde tendue et chargée d’un nombre indéfini de corps égaux ne sont sujettes à aucune difficulté, parce que le mouvement de chaque corps est déterminé par une équation particulière, il est évident que, si l’on peut appliquer ces mêmes formules au mouvement d’une corde uniformément épaisse, en supposant le nombre des corps infini et leurs distances mutuelles infiniment petites, la loi qui en résultera pour les vibrations de la corde sera entièrement indépendante de son état initial et, si cette loi se trouve la même que celle qui se déduit de la considé-
