ainsi on a tout de suite les valeurs des fonctions et dans toute l’étendue de la corde, par le moyen des valeurs initiales et
Les conditions de l’immobilité des extrémités de la corde donnent lorsque et lorsque quelle que soitla valeur de En assujettissant séparément, ce qui est permis, à ces deux conditions, les deux fonctions et on a, pour la première,
et, pour la seconde,
ce qui donne par la différentiation
d’où l’on voit que les conditions de la fonction sont les mêmes que celles de la fonction
Ces conditions déterminent les valeurs des fonctions pour les abscisses négatives ou plus grandes que d’après les valeurs de ces fonctions pour les abscisses comprises entre et et il est facile de voir qu’il en résulte les constructions données dans les articles 52 et 53.
Si, au lieu des excursions longitudinales on considère les excursions transversales et on a la même équation différentielle et, par conséquent, aussi la même intégrale et les mêmes constructions, en changeant seulement en et en ou en
Ces constructions sont semblables à celle qu’Euler avait donnée pour déterminer la figure de la corde dans un instant quelconque, d’après sa figure initiale, en faisant abstraction des vitesses imprimées au commencement du mouvement. Mais il faut remarquer que, comme elles ne sont fondées ici que sur les fonctions qui représentent les intégrales des équations aux différences partielles, elles ne peuvent avoir plus d’étendue que ne comporte la nature des fonctions, soit algébriques ou transcendantes. Or, l’équation différentielle étant la même
