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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

De cette manière, l’expression générale de $\xi$ deviendra simplement

$\xi =\Phi (x+lh't)+\Psi (x-lh't).$

61. On peut parvenir directement à cette expression par l’équation différentielle qui détermine la variable $\xi$ (art. 31). Cette équation, en faisant ${\frac {\partial \Pi }{\partial a}}=0$ et $\operatorname {F} '$ constant, comme dans l’article 32, et changeant la caractéristique $\mathrm {D}$ des différences finies dans la caractéristique $d$ des différences infiniment petites, devient

${\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial t^{2}}}d\mathrm {m} -\operatorname {F} 'd\left({\frac {\partial \xi }{\partial f}}\right)=0.$

Si maintenant on fait $df=dx,$ et $d\mathrm {m} ={\frac {\mathrm {M} }{l}}dx$ et $h'={\sqrt {\frac {\operatorname {F} '}{l\mathrm {M} }}},$ cette équation devient

${\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial t^{2}}}-l^{2}h'^{2}{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial x^{2}}}=0,$

laquelle est aux différences partielles du second ordre, entre les trois variables, $\xi ,\,x$ et $t,$ et qui a pour intégrale complète

$\xi =\Phi (x+lh't)+\Psi (x-lh't),$

les signes $\Phi$ et $\Psi$ dénotant deux fonctions arbitraires comme ci-dessus.

Ces fonctions doivent être déterminées par l’état initial de la corde et par les conditions que ses deux bouts soient fixes. Si on les décompose en deux autres fonctions marquées par les signes $\operatorname {F}$ et $f,$ et telles que $\Phi ={\frac {\operatorname {F} }{2}}+{\frac {f}{2lh'}}$ et $\Psi ={\frac {\operatorname {F} }{2}}-{\frac {f}{2lh'}},$ de manière que l’on ait

$\xi _{x}={\frac {\operatorname {F} (x+lh't)+\operatorname {F} (x-lh't)}{2}}+{\frac {f(x+lh't)-f(x-lh't)}{2lh'}},$

comme nous l’avons déduit de notre construction, la première condition donnera, en faisant $t=0,$

$\xi =\operatorname {F} (x)=\alpha \qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial \xi }{\partial t}}=f(x)={\dot {\alpha }}\,;$

d’où l’on tire

$f(x)=\int {\dot {\alpha }}dx\,;$