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MÉCANIQUE ANALYTIQUE
De cette manière, l’expression générale de deviendra simplement
61. On peut parvenir directement à cette expression par l’équation différentielle qui détermine la variable (art. 31). Cette équation, en faisant et constant, comme dans l’article 32, et changeant la caractéristique des différences finies dans la caractéristique des différences infiniment petites, devient
Si maintenant on fait et et cette équation devient
laquelle est aux différences partielles du second ordre, entre les trois variables, et et qui a pour intégrale complète
les signes et dénotant deux fonctions arbitraires comme ci-dessus.
Ces fonctions doivent être déterminées par l’état initial de la corde et par les conditions que ses deux bouts soient fixes. Si on les décompose en deux autres fonctions marquées par les signes et et telles que et de manière que l’on ait
comme nous l’avons déduit de notre construction, la première condition donnera, en faisant
d’où l’on tire