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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

l’aire qui répondra à l’abscisse $x-lh't,$ il faudra y ajouter l’aire relative à $-lh't,$ pour en rapporter le commencement au même point de l’origine des abscisses.

Dénotons en général par $\left(\int {\dot {\alpha }}dx\right)_{x}$ toute aire qui commence à cette origine et qui répond à une abscisse quelconque $x\,;$ d’après ce que nous venons de dire, on aura, dans l’expression de $\xi ''_{x},$

_S${\dot {\alpha }}_{x+lh't}\mathrm {D} x=\left(\int {\dot {\alpha }}dx\right)_{x+lh't}-\left(\int {\dot {\alpha }}dx\right)_{lh't},$

_S${\dot {\alpha }}_{x-lh't}\mathrm {D} x=\left(\int {\dot {\alpha }}dx\right)_{x-lh't}+\left(\int {\dot {\alpha }}dx\right)_{-lh't}.$

On substituera donc ces valeurs, et l’on remarquera qu’on a, en général,

$\left(\int {\dot {\alpha }}dx\right)_{lh't}+\left(\int {\dot {\alpha }}dx\right)_{-lh't}=0,$

puisque, par la nature de la courbe des $\alpha ,$ les ordonnées qui répondent à des abscisses égales, mais de signe différent, sont aussi égales et de signe différent ; de sorte qu’on a constamment ${\dot {\alpha }}_{lh't}+{\dot {\alpha }}_{-lh't}=0.$

Donc on aura simplement (article précédent)

$\xi ''_{x}={\frac {1}{2lh'}}\left[\left(\int {\dot {\alpha }}dx\right)_{x+lh't}-\left(\int {\dot {\alpha }}dx\right)_{x-lh't}\right].$

55. Donc enfin, réunissant les valeurs de $\xi '_{x}$ et de $\xi ''_{x},$ on aura cette expression générale de $\xi _{x}\,;$ au bout d’un temps quelconque $t,$

$\xi _{x}={\frac {1}{2}}\left(\alpha _{x+lh't}+\alpha _{x-lh't}\right)+{\frac {1}{2lh'}}\left[\left(\int {\dot {\alpha }}dx\right)_{x+lh't}-\left(\int {\dot {\alpha }}dx\right)_{x-lh't}\right].$

On aura des expressions semblables pour les variables $\eta _{x},\,\zeta _{x},$ en changeant seulement $h'$ en $h$ et $\alpha ,\,{\dot {\alpha }}$ en $\beta ,\,{\dot {\beta }}$ et $\gamma ,\,{\dot {\gamma }},$ et en supposant qu’on ait tracé de la même manière les courbes correspondantes aux valeurs initiales $\beta ,\,{\dot {\beta }}$ et $\gamma ,\,{\dot {\gamma }}.$

Ayant ainsi les excursions longitudinales $\xi _{x}$ et les excursions latérales $\eta _{x},\,\zeta _{x}$ de chaque point de la corde qui répond à l’abscisse $x$ prise dans l’axe, on connaîtra l’état de la corde au bout d’un temps quelconque $t$ écoulé depuis le commencement du mouvement, et comme