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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

Faisant, pour le cas de $n$ infini, $\sin {\frac {\varphi }{2}}={\frac {\varphi }{2}},$ et développant le produit $\cos \left(r+{\frac {1}{2}}\right)\varphi \sin(n+1)h't\varphi ,$ on aura

$\mathrm {D} \xi ''_{r}=+{\frac {1}{(n+1)h'}}$_S${\dot {\alpha }}_{s}\sum {\frac {\sin \left[r+(n+1)h't+{\frac {1}{2}}\right]\varphi }{n+1}}\sin s\varphi$

$-{\frac {1}{(n+1)h'}}$_S${\dot {\alpha }}_{s}\sum {\frac {\sin \left[r-(n+1)h't+{\frac {1}{2}}\right]\varphi }{n+1}}\sin s\varphi .$

Cette expression de $\mathrm {D} {\dot {\xi }}\,\!''_{r}$ est composée de deux parties semblables à celles de $\xi '_{r}$ (art. 49) ; on peut donc y appliquer les mêmes raisonnements et la ramener à une construction semblable.

Ayant donc tracé sur l’axe $l$ le polygone d’une infinité de côtés ou la courbe dont les ordonnées pour chaque abscisse $x$ soient ${\dot {\alpha }}_{x},$ et qui sera donnée par les vitesses initiales ${\dot {\alpha }},$ on la transportera alternativement au-dessous et au-dessus du même axe prolongé indéfiniment des deux côtés, de manière que l’on ait une courbe continue semblable à celle de l’article précédent. Alors, en mettant ${\frac {l}{\mathrm {D} a}}$ ou ${\frac {l}{\mathrm {D} x}}$ à la place de $n+1,$ et négligeant comme nul le terme ${\frac {1}{2(n+1)}}$ vis-à-vis de $x,$ on trouvera

$\mathrm {D} \xi ''_{x}={\frac {\mathrm {D} x}{2lh'}}\left({\dot {\alpha }}_{x+lh't}-{\dot {\alpha }}_{x-lh't}\right)\,;$

et passant des différences aux sommes,

$\xi ''_{x}={\frac {1}{2lh'}}$_S$\left({\dot {\alpha }}_{x+lh't}-{\dot {\alpha }}_{x-lh't}\right)\mathrm {D} x.$

54. Ces sommes ou ces intégrales représentent, comme l’on voit, des aires de la courbe dont les coordonnées sont ${\dot {\alpha }}\,;$ et il faut que ces aires ne commencent qu’aux points où $x=0$ et où les abscisses sont $lh't$ et $-lh't\,;$ mais il est plus commode de les faire commencer à l’origine commune des abscisses, qui est l’extrémité antérieure de l’axe $l.$ Pour cela, il faudra retrancher de l’aire qui commence à ce point, et qui répond à l’abscisse $x+lh't,$ l’aire qui répond à l’abscisse $lh't,$ pour que l’aire restante ne commence qu’au point où $x=0\,;$ et quant à