430
MÉCANIQUE ANALYTIQUE
extrémités de l’axe 
soient toujours égales entre elles et de signe contraire.
En prenant dans cette courbe les ordonnées qui répondent aux abscisses 
et 
on aura les valeurs de 
et de 
et la variable 
sera représentée, au bout d’un temps quelconque 
par la formule
On aurait pu déduire tout de suite cette continuation de la courbe qui représente les valeurs de 
de ce que nous avons démontré en général dans l’article 37, en supposant que la corde, au lieu d’être terminée aux deux points fixes, s’étende de part et d’autre à l’infini ; le polygone que nous avons imaginé dans cet article deviendra ici une courbe continue, laquelle, étant appliquée au premier instant du mouvement, sera la courbe des valeurs de 
prolongée à l’infini.
53. Considérons maintenant la seconde partie de 
que nous désignons par 
et qui est représentée (art. 46) par la formule
S![{\displaystyle {\dot {\alpha }}_{s}\sum \left\{{\frac {2\sin r\varphi }{n+1}}\sin s\varphi {\frac {\sin \left[2(n+1)h't\sin {\frac {\varphi }{2}}\right]}{2(n+1)h'\sin {\frac {\varphi }{2}}}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58dfd4e5d0f29492087f111d9f245a2bca00ae6)
Il faut commencer par la délivrer du dénominateur 
pour la rendre semblable à celle de 
et susceptible des mêmes réductions.
Pour cela, je prends la différence 
et comme l’exposant 
n’entre que dans 
il suffira d’affecter ce sinus de la caractéristique 
Or, par les théorèmes connus, on a
Substituant donc cette valeur dans l’expression de 
on aura
S![{\displaystyle {\dot {\alpha }}_{s}\sum \left\{{\frac {2\cos \left(r+{\frac {1}{2}}\right)\varphi }{(n+1)}}\sin s\varphi \sin \left[2(n+1)h't\sin {\frac {\varphi }{2}}\right]\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab7a89f5ac54c00d6ce4c26ca70ea4de095a54e)
