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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

où les signes ambigus de $\alpha _{s}$ et de $\alpha _{s'}$ répondent à ceux des valeurs de $s$ et de $s'.$

50. Mais, à la place des exposants ou indices $r$ et $s$ qui dénotent le rang des corps auxquels appartiennent les variables $\xi$ et $\alpha ,$ il est plus commode d’employer les parties mêmes de la corde comprises entre la première extrémité fixe et ces mêmes corps.

Désignons, comme dans l’article 46, par $x$ la partie de l’axe ou l’abscisse qui répond à $\xi ,$ et par $a$ celle qui répond à $\alpha \,;$ la longueur de la corde étant $l,$ on aura

${\frac {r}{n+1}}={\frac {x}{l}},\qquad {\frac {s}{n+1}}={\frac {a}{l}}\,;$

et de même

${\frac {s'}{n+1}}={\frac {a'}{l}},$

ce qui donne

$r={\frac {(n+1)x}{l}},\qquad s={\frac {(n+1)a}{l}},\qquad s'={\frac {(n+1)a'}{l}}\,;$

et à la place de $\xi '_{r},\,\alpha _{s},\,\alpha _{s'},$ on pourra écrire simplement $\xi '_{x},\,\alpha _{a},\,\alpha _{a'}.$

Substituant ces valeurs de $r,\,s,\,s'$ dans les formules de l’article précédent, multipliant par $l$ et divisant par $n+1,$ on aura

${\begin{aligned}a\ =&\pm (x+lh't-2\lambda \ l),\\a'=&\pm (x-lh't-2\lambda 'l),\\\xi '_{x}=&{\frac {1}{2}}(\pm \alpha _{a}\pm \alpha _{a'}),\end{aligned}}$

les signes ambigus de $\alpha _{a}$ et $\alpha _{a'}$ répondant à ceux de $a$ et $a'\,;$ et l’on déterminera ces signes, ainsi que les valeurs de $a$ et de $a',$ par la condition que ces valeurs soient positives et moindres que $l.$

51. Représentons par $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ les valeurs de $\pm \alpha _{a}$ et $\pm \alpha _{a'},$ en sorte que l’on ait, en général,

$\xi '_{x}=\mathrm {\frac {A+A'}{2}} .$