Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/444

426

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

sives $1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,n$ de $\rho \,:$ ce qui donne une série formée des produits de sinus d’angles multiples de ${\frac {r\pi }{n+1}}$ et ${\frac {s\pi }{n+1}},$ dont la somme devra être toujours nulle dans le premier cas, et égale à ${\frac {n+1}{2}}$ dans le second. C’est aussi ce qu’on peut démontrer directement par les formules connues, pour la sommation de ces sortes de suites.

Dans ces formules, $r$ et $s$ sont supposés des nombres quelconques entiers compris entre $0$ et $n+1\,;$ mais, à cause de $\varphi ={\frac {\rho \pi }{n+1}},$ $\rho$ étant aussi un nombre entier, si l’on met $2\lambda (n+1)\pm r$ à la place de $r,$ $\lambda$ étant un nombre quelconque entier positif ou négatif, on aura

$\sin \left[2\lambda (n+1)\pm r\right]\varphi =\pm \sin r\varphi \,;$

par conséquent, on aura, en général,

$\sum \left\{{\frac {2\sin \left[2\lambda (n+1)\pm r\right]\varphi }{n+1}}\sin s\varphi \right\}=\pm 1\ \ {\text{ou}}\ \ =0,$

selon que $s$ sera égal à $r$ ou non.

La formule $2\lambda (n+1)\pm r$ peut représenter tous les nombres entiers positifs ou négatifs, comme nous l’avons vu dans l’article 37 ; ainsi, ayant un nombre quelconque entier $\mathrm {N} ,$ on peut faire $\mathrm {N} =2\lambda (n+1)\pm r,$ ce qui donnera

$r=\pm \left[\mathrm {N} -2\lambda (n+1)\right],$

et l’on aura, en général, quel que soit $\mathrm {N} ,$

$\sum {\frac {\sin \mathrm {N} \varphi \sin s\varphi }{n+1}}=\pm {\frac {1}{2}}\ \ {\text{ou}}\ \ =0,$

selon que $s$ sera égal à $\pm \left[\mathrm {N} -2\lambda (n+1)\right]$ ou non, $s$ étant un nombre entier entre $0$ et $n+1.$

49. Cela posé, comme l’expression de $\xi _{r}$ est composée de deux parties, dont la première contient les valeurs initiales $\alpha$ de la variable $\xi ,$ et dont la seconde contient les valeurs initiales ${\dot {\alpha }}$ des différentielles ${\frac {d\xi }{dt}},$ nous considérerons ces deux parties séparément, et nous désignerons