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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

48. Quoique les formules de l’article 46 donnent rigoureusement le mouvement de la corde au bout d’un temps quelconque $t,$ les séries infinies qui entrent dans ces formules empêchent néanmoins qu’elles ne représentent ce mouvement d’une manière nette et sensible ; mais, en envisageant sous un autre point de vue la formule générale de l’article 36, on peut en tirer une construction simple et uniforme pour déterminer l’état de la corde à chaque instant, quel que puisse être son état initial.

Reprenons cette formule, et mettons-la sous la forme suivante, ce qui est permis à cause de l’indépendance des signes sommatoires _S et $\sum \,:$

$\xi _{r}=+$_S$\alpha _{s}\sum \left\{{\frac {2\sin r\varphi }{n+1}}\sin s\varphi \cos \left[2(n+1)h't\sin {\frac {\varphi }{2}}\right]\right\}$

$+$_S${\dot {\alpha }}_{s}\sum \left\{{\frac {2\sin r\varphi }{n+1}}\sin s\varphi {\frac {\sin \left[2(n+1)h't\sin {\frac {\varphi }{2}}\right]}{2(n+1)h'\sin {\frac {\varphi }{2}}}}\right\}.$

Nous tirerons d’abord de cette formule une conséquence qui nous sera fort utile. Comme on a supposé que $\alpha$ est la valeur initiale de $\xi$ (art. 29), il faut qu’en faisant $t=0$ dans l’expression précédent de $\xi _{r},$ elle se réduise à $\alpha _{r},$ et qu’on ait, par conséquent, cette équation identique

$\alpha _{r}=$_S$\alpha _{s}\sum {\frac {2\sin r\varphi }{n+1}}\sin s\varphi .$

Il est évident que le second membre de cette équation ne peut se réduire à $\alpha _{r},$ à moins que l’on n’ait, en général,

$\sum {\frac {2\sin r\varphi }{n+1}}\sin s\varphi =0,$

tant que $s$ est différent de $r\,;$ et que, lorsque $s=r,$ on ait

$\sum {\frac {2\sin r\varphi }{n+1}}\sin r\varphi =1,$

$\varphi$ étant égal à ${\frac {n+1}{\rho \pi }},$ et le signe $\sum$ étant rapporté aux valeurs succes-