Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/442

424

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

On aura de pareilles expressions pour les excursions transversales $\eta$ et $\zeta$ en changeant $h'$ en $h$ et $\alpha ,\,{\dot {\alpha }}$ en $\beta ,\,{\dot {\beta }}$ et en $\gamma ,\,{\dot {\gamma }}.$

47. Daniel Bernoulli, en généralisant la solution du problème des cordes vibrantes donnée par Taylor, était parvenu à une formule semblable à la précédente, mais dans laquelle les coefficients ${\dot {\mathrm {A} }}^{(\rho )}$ étaient nuls et les coefficients $\mathrm {A} ^{(\rho )}$ dénotaient simplement des constantes arbitraires dépendantes de la figure initiale de la corde (Mémoires de Berlin, 1753) ; et il avait cru pouvoir expliquer, par les différents termes de sa formule, les sons harmoniques qu’une corde sonore fait entendre, avec le son principal. Notre formule, dans laquelle ces coefficients sont exprimés par les valeurs initiales $\alpha ,\,{\dot {\alpha }},$ nous met en état d’apprécier cette explication, qui a été adoptée par plusieurs auteurs après lui.

En effet, il est facile de voir que le son principal de la corde sera donné par le premier ou les deux premiers termes de la série, qui répondent à $\rho =1,$ et que les sons harmoniques successifs, c’est-à-dire l’octave, la douzième, la double octave, la dix-septième, etc., seront donnés par les termes suivants, qui répondent à $\rho =2,\,3,\,4,\,5,\,\ldots .$ Donc, pour que le son principal domine parmi tous les autres, et qu’il n’y ait que les premiers des harmoniques qui se fassent entendre en même temps, il faut supposer que les coefficients $\mathrm {A} ^{(1)},\,{\dot {\mathrm {A} }}^{(1)}$ soient beaucoup plus grands que tous les autres pris ensemble, et que les coefficients suivants :

$\mathrm {A^{(1)},\quad A^{(2)},\quad A^{(3)},\quad \ldots \,;\quad {\dot {A}}\,\!^{(1)},\quad {\dot {A}}\,\!^{(2)},\quad {\dot {A}}\,\!^{(3)},\quad \ldots } .$

forment des séries extrêmement convergentes. Mais, par la manière dont ces coefficients dépendent des valeurs initiales $\alpha$ et ${\dot {\alpha }},$ on voit que cette supposition est inadmissible, en regardant l’état initial de la corde comme arbitraire ; on voit même que, dans la plupart des cas, ces coefficients formeront des séries divergentes, ce qui n’empêchera pas que la corde ne fasse des vibrations isochrones ou d’égale durée, seule condition nécessaire pour la formation d’un ton.