Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/441

423

SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

ticle 35 ; car, quel que soit son état initial, on est assuré que ses vibrations seront toujours isochrones entre elles, et synchrones à celles d’un pendule simple de longueur égale à ${\frac {g}{k}}\,;$ mais la loi de ces vibrations sera différente de celle des vibrations des pendules, et dépendra de l’état initial de la corde.

Pour connaître cette loi, il faut voir ce que deviennent les expressions générales de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ dans le cas de $n$ infini ; c’est ce que nous allons examiner.

46. Faisons, dans la formule générale de l’article 36, les substitutions de ${\frac {\rho \pi }{n+1}}$ à la place de $\varphi$ et de ${\frac {\rho \pi }{2(n+1)}}$ à la place de $\sin {\frac {\varphi }{2}},$ en supposant $n$ infini ; et au lieu des exposants ou indices $r$ et $s$ qui dénotent le rang des corps auxquels appartiennent les variables $\xi$ et $\alpha ,$ employons, ce qui est plus simple, les parties mêmes de l’axe ou les abscisses qui répondent à ces corps, en dénotant par $x$ l’abscisse relative à $\xi$ et par $a$ l’abscisse relative à $\alpha$ et à ${\dot {\alpha }}.$ Comme la longueur totale de la corde est supposée égale à $l,$ on aura

${\frac {r}{n+1}}={\frac {x}{l}},\qquad {\frac {s}{n+1}}={\frac {a}{l}},\qquad n+1={\frac {l}{\mathrm {D} a}}\,;$

et la formule dont il s’agit donnera cette expression générale des excursions longitudinales $\xi$

$\xi =2\sum \sin {\frac {\rho \pi x}{l}}\left[\mathrm {A} ^{(\rho )}\cos(\rho \pi h't)+{\dot {\mathrm {A} }}^{(\rho )}{\frac {\sin(\rho \pi h't)}{\rho \pi h'}}\right],$

en faisant

$\mathrm {A} ^{(\rho )}=$_S$\left(\sin {\frac {\rho \pi a}{l}}{\frac {\alpha \mathrm {D} a}{l}}\right),$

$\mathrm {\dot {A}} ^{(\rho )}=$_S$\left(\sin {\frac {\rho \pi a}{l}}{\frac {{\dot {\alpha }}\mathrm {D} a}{l}}\right).$

Le signe $\sum$ dénote ici une suite infinie de termes qui répondent à $\rho =1,\,2,\,3,\,\ldots ,$ à l’infini ; et le signe _S dénote d’autres suites infinies de termes qui répondent à toutes les valeurs de $a,\,\mathrm {D} a,\,2\mathrm {D} a,\,3\mathrm {D} a,\,\ldots ,$ à l’infini, à cause de $\mathrm {D} a$ infiniment petit.