Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/439

Cette page a été validée par deux contributeurs.

421

SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

On aura donc ainsi

\mathrm {V} =g\,

_S

a\,\mathrm {Dm} +g\,

_S

\mathrm {Dm}

_S

^{\displaystyle '}{\frac {\mathrm {D\eta ^{2}+D\zeta ^{2}} }{2\mathrm {D} a}},

où l’on voit que la partie de $\mathrm {V}$ qui contient les secondes dimensions des variables $\eta$ et $\zeta ,$ qui sont maintenant indépendantes, est nécessairement toujours positive, et que, par conséquent, les racines de l’équation en $k$ seront toutes réelles, positives et inégales. Ce serait le contraire si l’on donnait à $g$ une valeur négative.

§ IV. — Sur les vibrations des cordes sonores, regardées comme des cordes tendues, chargées d’une infinité de petits poids infiniment proches l’un de l’autre ; et sur la discontinuité des fonctions arbitraires.

44. La solution générale que nous avons donnée du problème des cordes vibrantes a lieu, quel que soit le nombre $n$ des corps mobiles, et quel que soit aussi leur état initial ; par conséquent, elle doit s’appliquer aussi au cas où le nombre $n$ deviendrait infiniment grand, et les intervalles entre les corps diminueraient à l’infini, de manière que la longueur de la corde restât la même alors le mouvement de chaque corps se trouvera représenté par une série infinie de termes dont la somme sera équivalente à une fonction finie, différente de celle de chacun de ses termes. Ce cas est celui d’une corde sonore uniformément épaisse, et l’on a coutume de le résoudre directement par le Calcul différentiel ; cependant il peut être intéressant pour l’Analyse de faire voir comment on peut le déduire de la solution générale, surtout parce que, de cette manière, on sera assuré d’avoir une solution applicable à quelque figure que la corde puisse avoir au commencement de son mouvement.

45. Nous remarquerons d’abord qu’en supposant $n$ infini, la valeur de ${\sqrt {k}}$ (art. 34) devient ${\sqrt {\frac {\operatorname {F} '}{l\mathrm {M} }}}\rho \pi ,$ parce que la dernière limite de $2(n+1)\sin {\frac {\rho \pi }{2(n+1)}}$ est $\rho \pi ,$ de sorte que les racines de l’équation en $k,$