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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

du fil doivent toujours être de peu d’étendue, si les valeurs initiales de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ sont très petites.

Le contraire aurait lieu si l’on supposait la quantité $g,$ qui exprime la gravité, négative, c’est-à-dire agissant en sens opposé ; car ce serait le cas où, le point de suspension du fil vertical étant placé à son extrémité inférieure, le fil culbuterait, pour peu qu’il fût déplacé de la situation verticale. En effet, en faisant g négative dans l’équation en $k,$ tous ses termes deviennent positifs, de sorte qu’elle ne peut avoir que des racines imaginaires ou réelles négatives.

On peut aussi trouver ces résultats a priori, par les principes établis dans l’article 8, ce qui peut servir à montrer la justesse de ces principes. En effet, si l’on a égard à la condition de l’inextensibilité du fil, laquelle donne (article précédent), en prenant les sommes comptées du corps le plus bas,

$\xi =\xi _{1}-$_S${\frac {\mathrm {D\eta ^{2}+D\zeta ^{2}} }{2\mathrm {D} a}},$

la valeur de $\mathrm {V}$ sera simplement _S$\Pi \,\mathrm {Dm} ,$ et l’on aura

$\Pi =gx=ga+g\xi .$

Mais, puisque le corps le plus haut, qui répond à $n+1,$ est supposé fixe, la valeur de $\xi$ y devra être nulle ; ainsi l’on aura

$\xi _{1}={\bigg (}{\bigg .}$_S$\left.{\frac {\mathrm {D\eta ^{2}+D\zeta ^{2}} }{2\mathrm {D} a}}\right),$

en supposant que la somme renfermée entre deux crochets soit la somme totale. Donc on aura

$\xi =$_S$^{\displaystyle '}{\frac {\mathrm {D\eta ^{2}+D\zeta ^{2}} }{2\mathrm {D} a}},$

où le signe _S$^{\displaystyle '}$ dénote les sommes prises à rebours, à commencer par le corps le plus haut, et qui sont les différences de la somme totale et des sommes partielles dénotées par _S, lesquelles doivent commencer au corps le plus bas, où est l’origine des abscisses.