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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

Désignons maintenant par $\Phi _{r}$ cette fonction de $r,$

${\begin{aligned}1&-(r-1){\frac {lk^{(\rho )}}{gn}}+{\frac {(r-1)(r-2)}{4}}\left({\frac {lk^{(\rho )}}{gn}}\right)^{2}\\&-{\frac {(r-1)(r-2)(r-3)}{4.9}}\left({\frac {lk^{(\rho )}}{gn}}\right)^{3}+\ldots ,\end{aligned}}$

et mettons dans l’expression générale de la variable $\eta$ de l’article 30, à l’imitation de ce que nous avons fait dans l’article 36, $\eta _{r}$ au lieu de $\eta ,$ et $\Phi _{r}$ au lieu de $\mathrm {Y}$ dans les termes qui sont hors du signe _S ; mais, dans ceux qui sont sous ce signe, nous changerons $r$ en $s,$ et nous mettrons $\beta _{s},\,{\dot {\beta }}_{s}$ au lieu de $\beta$ et ${\dot {\beta }}.$ On aura ainsi, pour un corps quelconque dont le rang est $r$ en montant,

$\scriptstyle \eta _{r}=\sum \left[{\frac {\Phi _{r}\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle (\alpha _{s}\Phi _{s})}{\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle (\Phi _{s})^{2}}}\cos t{\sqrt {k^{(\rho )}}}\right]+\sum \left[{\frac {\Phi _{r}\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle (\alpha _{s}\Phi _{s})}{\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle (\Phi _{s})^{2}{\sqrt {k^{(\rho )}}}}}\sin t{\sqrt {k^{(\rho )}}}\right],$

où le signe _S exprime la somme des termes qui répondent à $s=1,\,2,$ $3,\,\ldots ,\,n,$ et le signe $\sum$ représente la somme des termes qui répondent à $\rho =1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,n,$ en supposant que $k^{(1)},\,k^{(2)},\,k^{(3)},\,\ldots ,\,k^{(n)}$ soient les racines de l’équation en $k^{(\rho )},$ représentée par

$\Phi _{n+1}=0.$

On aura une expression tout à fait semblable pour la variable $\zeta _{r}$ en changeant simplement $\beta _{s},{\dot {\beta }}_{s}$ en $\gamma _{s},{\dot {\gamma }}_{s}.$

Le problème des oscillations infiniment petites d’un fil chargé d’un nombre quelconque de poids égaux est donc complètement résolu ; il ne reste qu’à déterminer les racines de l’équation en $k^{(\rho )},$ ce qui ne paraît pas possible en général.

43. Au reste, quoiqu’on ne puisse pas déterminer ces racines, on peut néanmoins être assuré qu’elles doivent être toutes réelles, positives et inégales ; autrement les valeurs de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ contiendraient des termes qui iraient en augmentant avec le temps, ce qui ne peut être, puisqu’il est évident, par la nature du problème, que les oscillations