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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

laquelle fait disparaître, dans les équations générales de l’article 21, tous les termes multipliés par $\operatorname {G} .$

En n’ayant égard qu’à la pesanteur des corps, et prenant l’axe des abscisses $x$ et $a,$ vertical et dirigé de bas en haut, on aura ${\frac {\partial \Pi }{\partial a}}$ égale à la force accélératrice de la gravité, que nous désignerons par $g,$ et, de plus, ${\frac {\partial \Pi }{\partial b}}=0,$ ${\frac {\partial \Pi }{\partial c}}=0\,;$ et les équations de l’article cité deviendront

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\mathrm {Dm} &-\mathrm {D} _{_{'}}\left(\operatorname {F} {\frac {\mathrm {D} \xi }{\mathrm {D} f}}\right)=0,\\{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}\mathrm {Dm} &-\mathrm {D} _{_{'}}\left(\operatorname {F} {\frac {\mathrm {D} \eta }{\mathrm {D} f}}\right)=0,\\{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}\mathrm {Dm} &-\mathrm {D} _{_{'}}\left(\operatorname {F} {\frac {\mathrm {D} \zeta }{\mathrm {D} f}}\,\right)=0,\end{aligned}}$

où les variables sont séparées.

La valeur de $\operatorname {F}$ sera (art. 22)

$\scriptstyle \operatorname {F} ={\sqrt {\left(g\,\displaystyle \,\mathrm {S} \scriptstyle \mathrm {Dm+A} \right)^{2}+\mathrm {B^{2}+C^{2}} }}$

Les équations en $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ deviendront donc (art. 23)

${\begin{aligned}k\mathrm {X\,Dm} &+\mathrm {D} _{_{'}}\left(\operatorname {F} {\frac {\mathrm {DX} }{\mathrm {D} f}}\right)=0,\\k\mathrm {Y\,Dm} &+\mathrm {D} _{_{'}}\left(\operatorname {F} {\frac {\mathrm {DY} }{\mathrm {D} f}}\right)=0,\\k\mathrm {Z\,Dm} &+\mathrm {D} _{_{'}}\left(\operatorname {F} {\frac {\mathrm {DZ} }{\mathrm {D} f}}\,\right)=0,\end{aligned}}$

qui sont, comme l’on voit, tout à fait semblables entre elles ; de sorte qu’on pourra supposer $\mathrm {X=Y=Z} ,$ parce que les constantes arbitraires par lesquelles ces quantités peuvent différer, devant être déterminées par les mêmes conditions, deviendront aussi les mêmes. Ainsi les valeurs $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ données par les formules générales de l’article 30, ne seront différentes que par les valeurs initiales $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ ${\dot {\alpha }},\,{\dot {\beta }},\,{\dot {\gamma }},$ qui peuvent être quelconques.

Toute la difficulté se réduit donc à trouver l’expression générale