37. Il y a une remarque importante à faire sur l’expression générale de que nous venons de trouver. Quoique nous ayons supposé que le nombre des corps mobiles est donné, et que la corde, dont la longueur est aussi donnée, est fixe par ses deux bouts, le calcul n’est pas arrêté par ces suppositions, et l’expression dont il s’agit donne la valeur de pour tout corps placé sur la même ligne droite dont le rang serait exprimé par un nombre quelconque entier, positif ou négatif.
En effet, puisque ce nombre n’entre que dans il est visible qu’on peut lui donner telle valeur que l’on veut, et l’on voit en même temps que, comme ce sinus ne changera pas de valeur si l’on y met à la place de et deviendra simplement négatif si l’on y change en étant un nombre quelconque entier, positif ou négatif. D’où il s’ensuit qu’en imaginant, suivant l’esprit du calcul, que la corde s’étende indéfiniment de part et d’autre, et qu’elle soit chargée, dans toute sa longueur, de corps égaux et placés à distances égales entre eux, les mouvements de ces corps seront tels, qu’on aura toujours
Or il est facile de voir que la formule peut représenter tous les nombres entiers, positifs ou négatifs, en supposant compris entre et car, ayant un nombre entier quelconque, si on le divise par jusqu’à ce que le reste, positif ou négatif, soit moindre que ce qui est toujours possible, et qu’on prenne pour le quotient et pour le reste, ce nombre sera représenté par Ainsi la valeur de relative à un corps quelconque placé sur la même ligne, à telle distance qu’on voudra de l’origine de l’axe se réduira toujours à la valeur de pour un des corps placés sur cet axe.
Comme la relation que nous venons de trouver entre les différentes valeurs de est générale, quel que soit le nombre si l’on y met
