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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

indique qu’il faut prendre la somme de tous les termes qui répondent aux valeurs de $s,$ depuis $0$ jusqu’à $n.$

On aura ainsi cette formule générale

$\scriptstyle \xi _{r}=\sum {\frac {2\sin r\varphi }{n+1}}\left\{{\begin{aligned}&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \alpha _{s}\sin s\varphi \cos \left[2(n+1)h't\sin {\frac {\varphi }{2}}\right]\\+&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle {\dot {\alpha }}_{s}\sin s\varphi {\frac {\sin \left[2(n+1)h't\sin {\frac {\varphi }{2}}\right]}{2(n+1)h'\sin {\frac {\varphi }{2}}}}\end{aligned}}\right\},$

et pour avoir les expressions de $\eta _{r}$ et $\zeta _{r},$ il n’y aura qu’à changer $h'$ en $h$ et $\alpha ,\,{\dot {\alpha }}$ en $\beta ,\,{\dot {\beta }}$ et en $\gamma ,\,{\dot {\gamma }}.$

Les variables $\xi _{r}$ représentent les excursions longitudinales des corps dans la ligne droite ou axe qui passe par les deux extrémités fixes de la corde, et les variables $\eta _{r},\,\zeta _{r}$ représentent leurs excursions transversales ou latérales dans la direction perpendiculaire à l’axe, les seules qu’on ait considérées jusqu’ici dans la solution du problème des cordes vibrantes.

À l’égard du signe $\sum ,$ on se souviendra qu’il exprime la somme de toutes les quantités, sous ce signe, qui répondent à $\rho =1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,n\,;$ d’où l’on voit que les excursions de chaque corps, tant longitudinales que transversales, seront composées en général d’autant d’excursions particulières, analogues à celles de différents pendules dont les longueurs seraient

${\frac {g}{4(n+1)^{2}h'^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {g}{4(n+1)^{2}h^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}},$

qu’il y a de corps mobiles, $g$ étant la force de la gravité.

Pour que les valeurs de $h$ et $h'$ soient réelles, il faut que les quantités $\operatorname {F}$ et $\operatorname {F} '$ soient positives (art. 35) ; donc, suivant l’hypothèse de l’article 32, il faudra que l’exposant $m$ soit positif. Si les corps se repoussaient, $\operatorname {F}$ serait une quantité négative, et il faudrait alors que l’exposant $m$ fût aussi négatif, et que, de plus, on eût $\beta =0,\,{\dot {\beta }}=0,$ $\gamma =0,\,{\dot {\gamma }}=0,$ pour rendre nulles les excursions transversales $\eta$ et $\zeta .$