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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

On aura de même

_S$\mathrm {Y} ^{2}=$_S$\mathrm {Z} ^{2}={\frac {n+1}{2}}.$

35. Comme les valeurs de $k$ sont incommensurables entre elles, la corde ne pourra jamais reprendre sa première position, à moins que les expressions de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ ne se réduisent à un seul terme (art. 25). Dans ce cas, en mettant dans les formules de l’article cité, pour $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ et $k,$ les valeurs qu’on vient de trouver, et faisant, pour abréger,

$h'={\sqrt {\frac {\operatorname {F} '}{l\mathrm {M} }}},\qquad h={\sqrt {\frac {\operatorname {F} }{l\mathrm {M} }}},$

on aura ces expressions, dans lesquelles j’ai conservé l’angle $\varphi$ à la place de sa valeur ${\frac {\rho \pi }{n+1}},$

${\begin{aligned}\xi =&\mathrm {E} \sin r\varphi \sin \left(h't\sin {\frac {\varphi }{2}}+\varepsilon \right),\\\\\eta =&\mathrm {E} \sin r\varphi \sin \left(ht\ \sin {\frac {\varphi }{2}}+\varepsilon \right),\\\\\zeta =&\mathrm {E} \sin r\varphi \sin \left(ht\ \sin {\frac {\varphi }{2}}+\varepsilon \right)\,;\end{aligned}}$

mais il faudra que les valeurs initiales $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ ${\dot {\alpha }},\,{\dot {\beta }},\,{\dot {\gamma }},$ qui répondent à $t=0,$ soient proportionnelles à $\sin r\varphi .$ C’est la solution connue, dans laquelle on suppose que les corps ne font que des oscillations simples et isochrones.

36. Pour avoir des expériences générales applicables à un état initial quelconque, il faut employer les formules de l’article 30, en y substituant les valeurs trouvées ci-dessus (art. 34). Nous appliquerons, pour plus de clarté, aux variables $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ l’exposant ou indice $r$ placé au bas de ces lettres, pour marquer le rang du corps auquel elles se rapportent, et à l’égard des quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ ${\dot {\alpha }},\,{\dot {\beta }},\,{\dot {\gamma }}$ et $\mathrm {X,\,Y,\,Z} ,$ qui sont sous le signe sommatoire _S, nous emploierons l’exposant $s$ au lieu de $r,$ parce que cet exposant est uniquement relatif au signe _S lequel