Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/426

408

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

et les trois équations en $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ de l’article 31 deviendront

${\begin{aligned}{\frac {l\mathrm {M} k}{(n+1)^{2}\operatorname {F} '}}\mathrm {X} &+\mathrm {D^{2}\ _{_{'}}\!X} =0,\\{\frac {l\mathrm {M} k}{(n+1)^{2}\operatorname {F} }}\mathrm {Y} &+\mathrm {D^{2}\ _{_{'}}\!Y} =0,\\{\frac {l\mathrm {M} k}{(n+1)^{2}\operatorname {F} }}\mathrm {Z} &+\mathrm {D^{2}\ _{_{'}}\!Z} =0,\end{aligned}}$

lesquelles étant semblables entre elles, il suffira de résoudre la première, et il n’y aura plus qu’à changer $\operatorname {F} '$ en $\operatorname {F}$ pour avoir aussi la résolution des deux autres.

34. Soit $r$ l’exposant ou l’indice du rang qu’un terme quelconque $\mathrm {X}$ tient dans la série des $\mathrm {X} \,;$ nous désignerons en général ce terme par $\mathrm {X} _{r},$ et le terme précédent $\,_{_{'}}\!\mathrm {X}$ sera $\mathrm {X} _{r-1}\,;$ ainsi la première équation sera

${\frac {l\mathrm {M} k}{(n+1)^{2}\operatorname {F} '}}\mathrm {X} _{r}+\mathrm {D^{2}X} _{r-1}=0.$

Supposons, pour résoudre cette équation,

$\mathrm {X} _{r}=\mathrm {H} \sin(r\varphi +e),$

$\mathrm {H}$ et $e$ étant deux constantes arbitraires ; on aura, par les formules connues de la multiplication des angles,

$\mathrm {D^{2}X} _{r-1}=\mathrm {X} _{r+1}-2\mathrm {X} _{r}+\mathrm {X} _{r-1}=-4\mathrm {H} \sin(r\varphi +e)\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}},$

et ces valeurs étant substituées dans l’équation précédente, elle deviendra, après la division par $\mathrm {X} _{r},$

${\frac {l\mathrm {M} k}{(n+1)^{2}\operatorname {F} '}}-4\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}=0,$

laquelle donne

${\sqrt {k}}=2(n+1){\sqrt {\frac {\operatorname {F} '}{l\mathrm {M} }}}\sin {\frac {\varphi }{2}}.$

Or on a (art. 24) les deux conditions à remplir

$\mathrm {X} _{0}=0\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {X} _{n+1}=0\,;$